[passer-by]

โค้งสุดท้าย
-------------------------------------------------------------------------
226. คน n คน (n>3) แต่ละคนมีเพื่อน $ \geq q $ คน ถ้า q > 2n/3 พิสูจน์ว่ามี 4 คนที่รู้จักซึ่งกันและกัน

227. (A) AD,BE,CF เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยมุมแหลม ABC , P, Q, R เป็นจุดกึ่งกลางของ DE,EF,FD ตามลำดับ พิสูจน์ว่า เส้นตั้งฉากจาก P,Q,R ไปยัง AB,BC,CA พบกันที่จุดๆเดียว
(B) AD,BE,CF เป็นส่วนสูงของสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC , P, Q, R เป็นจุดกึ่งกลางของ DE,EF,FD ตามลำดับ และ X,Y,Z เป็นจุดกึ่งกลาง BC,CA,AB ตามลำดับ พิสูจน์ว่า XQ,YR,ZP พบกันที่จุดๆเดียว

228. เขียนเลข 1-24 บนกระดานดำ ,ณ ขณะใดๆ เลข 3 ตัว ,say, a,b,c ถูกแทนที่ด้วย $$ \frac{2b+2c-a}{3} \,\,\,\, , \frac{2c+2a-b}{3} \,\,\,\, , \frac{2a+2b-c}{3} $$ เป็นไปได้หรือไม่ ที่เมื่อแทนที่ไปเรื่อยๆ จะมีเลขมากกว่า 70 ปรากฏ

229. พิสูจน์ว่ามี พหุนาม P(x) ดีกรี n ใน Z[x] โดย P(0) , P(1),…,P(n) เป็นจำนวนนับต่างกันที่เขียนได้ในรูปแบบ $ 3(2009)^k +543 $ บางจำนวนนับ k

230. ล่าม 25 คน โดย 2 คนใดๆพูด 1 ภาษาต่อกันเท่านั้น ถึงแม้รู้มากกว่า 1 ภาษา และทุกๆ 3 คน จะมี 1 คนที่พูดกับอีก 2 คนด้วยภาษาเดียวกัน พิสูจน์ว่า มีล่าม 1 คนที่พูดกับล่ามอีก 10 คนด้วยภาษาเดียวกัน

231. จำนวนนับ n >1 พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ $ A_1 ,A_2,..,,A_n $ ต่างกัน จะมีจำนวนนับ k ซึ่ง $ \prod_{i=1}^n \,\, (A_i+k)$ ที่ไม่สามารถเขียนได้ในรูปแบบ จำนวนเต็มยกกำลัง j (j เป็นจำนวนนับ >1)

232. ABCD cyclic โดย $ AD \cap BC = E \,\, , AB \cap CD = F $ เส้นแบ่งครึ่งมุม E ตัด AB,CD ที่ M, P และ เส้นแบ่งครึ่งมุม F ตัด BC, AD ที่ N, Q พิสูจน์ว่า MNPQ เป็นสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน

233. วงกลม แนบในสามเหลี่ยม ABC สัมผัส BC,CA,AB ที่ D,E,F ตามลำดับ ถ้า AD ตัดวงกลมแนบในที่ M และ DF ตัด (CDM) ที่ N , CN ตัด AB ที่ G พิสูจน์ว่า $ CN=3NG$

234. สามเหลี่ยม ABC มี $ B\hat{A}C \neq 90^{\circ} $ ,M เป็นจุดกึ่งกลาง BC และ P อยู่บน MA โดย $ B\hat{P}C= 180^{\circ} – B\hat{A}C \,\, , BP \cap AC=E \,\, , CP \cap AB = F$ ,จากจุดกึ่งกลางของ EF ลากไปตั้งฉากกับ BC ที่ D พิสูจน์ O,P ,orthocenter ของสามเหลี่ยม EDF อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

235. a เป็นจำนวนจริง โดย $ x_0=a \,\, , x_{n+1} = 4x_n – x_n^2 $
พิสูจน์ว่ามี a เป็นอนันต์ที่ทำให้ $ x_n $ เป็น periodic sequence

236. (An application of Pell's equation) พิสูจน์ ว่ามีจำนวนเต็ม a ,b, c เป็นอนันต์ที่สอดคล้องกับ $ a^2+b^3 = c^4$

237. พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ m,n จะมี จำนวนนับ k ซึ่งสอดคล้องกับ $ (\sqrt{m} + \sqrt{m-1})^n = \sqrt{k} - \sqrt{k-1} $

238. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC ,สะท้อน Euler line เทียบกับ BC, AC กลายเป็น $ L_1,L_2$ โดย $ L_1 \cap L_2 = E $ พิสูจน์ว่า EABC cyclic

239. หาค่าต่ำสุดของ $ \frac{3a}{b+c} + \frac{4b}{c+a} + \frac{5c}{a+b}$ เมื่อ a,b,c เป็นจำนวนจริงบวก

240. หาจำนวนนับ n น้อยสุดที่ทำให้ข้อความด้านล่างเป็นจริง
“ partition $ \{ 2^0, 2^1,…,2^n \}$ เป็น 2 เซตที่ไม่มีสมาชิกร่วมกัน (และไม่เป็นเซตว่าง) ตามใจชอบ ต้องมีอย่างน้อย 1 สับเซต ที่บรรจุลำดับเรขาคณิต 3 เทอม ที่มีอัตราส่วนร่วมไม่เป็น 1 “

241. $ a_n $ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนนับ ที่มีผลต่างร่วมเป็นจำนวนเฉพาะ ถ้ามีบางเทอมเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง j และมีบางเทอมเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง k โดย (j,k)=1 (j,k>1) พิสูจน์ว่า มีบางเทอมเป็นจำนวนเต็มยกกำลัง jk

242. k เป็นจำนวนนับ >2 และ $ \theta \in R $ พิสูจน์ว่า ถ้า $ \cos (k-1)\theta , \cos k\theta $ เป็นจำนวนตรรกยะ แล้วมีจำนวนนับ n เป็นอนันต์ ซึ่ง$ \cos (n-1)\theta , \cos n\theta $ เป็นจำนวนตรรกยะ

243. นักเรียน 2008 คน มีเลขประจำตัว 1,2,…,2008 และนักเรียน 1 คนต้องเป็นสมาชิก 1 ชมรมเท่านั้นจาก 4 ชมรมที่มีอยู่ พิสูจน์ว่า มีวิธีการเข้าชมรม โดยให้ทุกชมรม ไม่ปรากฏนักเรียน 10 คนที่มีเลขประจำตัวเรียงเป็นลำดับเลขคณิต

244. (ดูเหมือนซับซ้อนแต่ไม่ซับซ้อน) กำหนดสามเหลี่ยมมุมแหลม ABC สร้างวงกลม $ w_1,w_2,w_3$ โดยมี AB, BC, AC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง ตามลำดับ , CD, CE สัมผัส $w_1$ (D,E คนละจุดกับ A,B) , AF, AG สัมผัส $w_2$ (F,G คนละจุดกับ B,C), BH, BI สัมผัส $w_3$ (H,I คนละจุดกับ A,C) , $ K =DE \cap FG \,\, , M = FG \cap HI $
ลาก A ผ่าน K ตัด BC ที่ $ A_1$ ลาก C ผ่าน M ตัด AB ที่ $C_1$ โดย $ A_1C_1 \cap BK = S $ และ O เป็น orthocenter ของสามเหลี่ยม ASC พิสูจน์ O,B,M อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน

245. พิสูจน์ว่า ทุกจำนวนนับ เขียนได้ในรูปผลบวกของ $ 2^i 3^j \,\,\exists i,j \geq 0$ โดยไม่มีเทอมใดในผลบวกหารเทอมอื่นลงตัว

246. S เป็นเซตของจุดทั้งหมดในระนาบ XY ที่ไม่มี 3 จุดใดๆอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน พิสูจน์ว่าไม่มีเซตอนันต์ $ K \subset S $ ซึ่งทุกจุดใน K มีระยะห่างเป็นจำนวนนับ

247. จำนวนนับ n >2 พิสูจน์ว่า จำนวนวิธีเขียน n เป็นผลบวกของจำนวนนับ (ที่ หรม.ของทุกตัวเป็น 1) หารด้วย 3 ลงตัว (Note: 2+3+2 กับ 2+2+3 ถือว่าต่างกัน)

248. ABCD convex และ $ AC \cap BD = E \,\, , AB \cap CD = F \,\, ,AD \cap BC = G $ EF ตัด AD, BC ที่ X,Y ตามลำดับ M,N เป็นจุดกึ่งกลาง AD, BC ตามลำดับ พิสูจน์ BCMX cyclic ก็ต่อเมื่อ ADNY cyclic

249. S เป็นเซตของจุดภายในทรงกลม , C เป็นเซตของจุดภายในวงกลม พิสูจน์ว่าไม่มี ฟังก์ชัน $ f: S \rightarrow C $ โดย $ d(A,B) \leq d(f(A),f(B)) $ ทุกจุด A,B ใน S
(Note: d(A,B) คือระยะห่างระหว่างจุด A,B )

250. ABCD cyclic และไม่มีด้านคู่ใดขนานกัน โดย $ AB \cap CD = E $ และวงกลมมีจุดศูนย์กลาง O รัศมี R , เส้นตรงผ่าน E ตัด AD,BC ที่ P, Q ตามลำดับ พิสูจน์ $$ \frac{1}{EP} + \frac{1}{EQ} \leq \frac{2EO}{EO^2-R^2}$$

251. a>0 พิสูจน์ $ \lim_{n \to \infty} n \int_{\,\,0}^{\,\,1} \frac{x^n}{a+x^n} \,\, dx = \ln \frac{a+1}{a} $

252. $ f:[0,1] \rightarrow R $ โดย $ \int_0^1 f(x) \,\, dx = \int_0^1 xf(x) \,\, dx =1 $ พิสูจน์ $\int_0^1 f^2(x) \,\, dx \geq 4 $

253. หาค่า $$ \int_{-1}^{1} \,\,\bigg(\frac{\sqrt{x^2+1}+ x-1} {\sqrt{x^2+1}+x+1}\bigg)^3 \,\,dx $$

254. หาค่า $$ \int_{-1}^{1} \,\, \frac{1}{x^2+x+1+\sqrt{x^4+3x^2+1}} \,\,dx $$

255. $ f:R \times R \rightarrow R $ สอดคล้องกับ $ f(x,y)+f(y,z)+f(z,x) = 0 \,\,, \forall x, y, z \in R $ พิสูจน์ว่า มี $ g : R \rightarrow R $ โดย $ f(x,y)=g(x)-g(y) \,\, , \forall x,y \in R $

256. ถนน one-way รอบเมือง $T_1,T_2, \dots, T_n $ กลับมา $T_1$ ถ้าตอนเริ่มต้นถังน้ำมันว่างเปล่า และจะแวะเติมน้ำมันทุกเมือง โดยจะเติมปริมาณ $p_i$ (for $T_i$ ) ถ้า $ \sum_{i=1}^n p_i $ เพียงพอที่จะทำให้ขับรอบ n เมืองแล้ว วนกลับมาที่เดิมได้ พิสูจน์ว่ามีเมือง $T_j$ ซึ่งถ้าออกเดินทางจากเมืองนี้ แล้วจะขับวนกลับมาที่ $T_j$ ได้โดยน้ำมันไม่หมดกลางทาง

257. $ a,b \in N $ a>b (a-b,ab+1)=1=(a+b,ab-1) พิสูจน์ว่า $(a-b)^2 +(ab+1)^2 $ ไม่เป็น perfect square

258. หา all $ f : R \rightarrow R$ โดย $f(x^2+y+f(y)) = 2y + (f(x))^2$ ทุกจำนวนจริง x,y

259. a,b > 0 หาค่า $ \lim_{n\to\infty} \sqrt {a+\sqrt{a+\dots + \sqrt{a+\sqrt{b}}}}$ โดยมีจำนวน root n ครั้ง

260. หาจำนวนเฉพาะ $ q_1,q_2,...,q_6 $ โดย $ q_1^2 = q_2^2 +q_3^2 + \dots + q_6^2 $

261. a,b,c เป็นจำนวนเต็ม โดย $ |a|,|b|,|c| \leq 10$ กำหนด $ p(x) = x^3 +ax^2+bx+c $ โดย $
| p(2+\sqrt{3})|< 10^{-3}$ พิสูจน์ว่า $ p(2+\sqrt{3}) =0 $

262. ยกตัวอย่างจำนวน palindrome อนันต์จำนวนที่มีแต่เลขโดด a,b,c (a,b,c >1) และหารลงตัวด้วย a,b,c

263. หา all $ f : R\rightarrow R $ ที่สอดคล้องกับ $ x^2y^2(f(x+y)-f(x)-f(y)) = 3(x+y)f(x)f(y) $ ทุกจำนวนจริง x,y

264. $f,g : [0,1] \rightarrow R $ เป็นฟังก์ชันต่อเนื่อง พิสูจน์ว่า $ \lim_{n\to\infty} \int_0^1 f(x^n)g(x)\,\,dx = f(0) \int_0^1 g(x) \,\,dx $

265. ยกตัวอย่างจำนวนนับ 100 ตัวต่างกัน โดยที่ ครน. ทั้ง 100 ตัว เท่ากับผลรวมของทั้ง100 ตัว

266. สามเหลี่ยมมุมแหลม ABC พิสูจน์ $$ \sum_{cyc} \,\, \cos (\frac{A-B}{2}) \,\, \leq \,\,\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \sum_{cyc} \frac{a+b}{ \sqrt{a^2+b^2}}$$

267. หาจำนวนเต็มที่ไม่เป็นลบ m,n ทั้งหมด ที่สอดคล้องกับ $ 1997^{1001} (m^2-1)- 2m + 5= 3\binom{2003^{2004}}{n} $

268. วงกลม $O_1,O_2, $ตัดกันที่ C,D เส้นตรงที่ผ่าน D ตัดวงกลม $O_1$ที่ A และวงกลม $O_2$ ที่ B ,P,Q อยู่บนวงกลม $O_1,O_2, $ ตามลำดับ $PD \cap AC=M , QD \cap BC = N$ พิสูจน์ OD ตั้งฉากกับ MN ก็ต่อเมื่อ PQMN cyclic

269. (Is converse also true?)
(A) ถ้า P,Q, R เป็นจุดบน AB, BC, AC ของสามเหลี่ยม ABC โดย [APQ] = [PQR]=[PBR] = [CBR] แล้ว จำเป็นหรือไม่ที่ P, Q, R เป็นจุดกึ่งกลางด้านสามเหลี่ยม
(B) ถ้า $a_i$ เป็นจำนวนนับ โดย $ \sum_{i=1}^n a_i^3 = (\sum_{i=1}^n a_i)^2 $ แล้ว จำเป็นหรือไม่ที่ $ a_i = i \,\, ,\forall i =1,2,…,n$

270. แก้สมการต่อไปนี้ ในระบบจำนวนจริง $8x(2x^2-1)(8x^4-8x^2+1) =1 $
--------------------------------------------------------------------------------------

ยังเหลือเฉลยข้อที่ไม่มี proof ในช่วง 70 ข้อสุดท้าย ที่จะตามมาเร็วๆนี้ จากนั้นก็จะเป็น Highlight + selected solution สิ่งน่าสนใจใน 270 ข้อ (ที่ผมวางไว้ น่าจะเป็นรูปแบบกึ่งเฉลยกึ่งบทความนะครับ)

หลังจากนี้ ก็จะพยายามถ่ายทอด ความรู้ทุกอย่างที่สะสมมาถึงวันนี้ ให้ได้มากที่สุดเท่าที่จะทำได้ ผ่านโจทย์เหล่านี้

ผมก็ไม่รู้ว่า สิ่งที่ผมจะ post ในอนาคต จะเป็นการสอนจระเข้ให้ว่ายน้ำ หรือเปล่านะ แต่ก็จะตั้งใจทำให้เต็มที่ตามเจตนารมณ์ที่ผมตั้งไว้ในต้นกระทู้ ครับ