คำตอบของน้อง M@gpie ถูกแล้วครับ แต่ที่ผมคิดคืออีกแบบครับ ผมใช้เรื่อง generalized spherical coordinates
ทวนนะครับ ใน $\mathbb{R}^3$ เรามี spherical coordinates
\[
(x,y,z)\to(r,\theta,\phi)\qquad r\geq0,\;0\leq\theta\leq2\pi,\;0\leq\phi\leq\pi
\]
ทำนองเดียวกันใน $\mathbb{R}^n$ เราก็จะมี
\[
(x_1,\ldots,x_n)\to(r,\Psi),\quad\Psi=(\theta,\phi_1,\ldots,\phi_{n-2})
\]
ส่วนอินทิเกรตจะมี differential
\[
dV=dx_1\cdots dx_n\to r^{n-1}dr\;d\Psi
\]
เช่น เมื่อ $n=3$ เรามี $d\Psi=\sin\phi\;d\theta\;d\phi$ (กรณี $n\geq4$ รูปแบบจะยุ่งยากกว่านี้)
ที่นี้เรื่องของเรื่องคือ
\[
\int_{S^{n-1}}d\Psi=\alpha_n=\text{พื้นที่ของ sphere รัสมี 1 หน่วยใน $\mathbb{R}^n$}
\]
ในคณิตศาสตร์ถือว่าเป็นค่าคงที่ คำนวณได้โดยอาศัย Gamma function$\quad$ ดังนั้นปัญหาของเราจะกลายเป็น
\[
\begin{eqnarray}
\int_0^\infty e^{-r^2}r^{n-1}dr&=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{\mathbb{R}^n}e^{-|x|^2}dV(x)\\
&=&\frac{1}{\alpha_n}\int_{-\infty}^\infty e^{-x_1^2}dx_1\cdots\int_{-\infty}^\infty e^{-x_n^2}dx_n\\
&=&\frac{1}{\alpha_n}(\sqrt{\pi})^n
\end{eqnarray}
\]
ปล. วิธีแปลงเป็น spherical coordinates มีประโยชน์มากเวลาคำนวณ heat kernel $k(x,y,t)=\frac{1}{(4\pi t)^{n/2}}e^{-|x-y|^2/4t}$ บน $\mathbb{R}^n$
|