อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
79. กำหนดจำนวนนับ n หาค่า $$ \int_0^{\infty} \,\, \frac{x^n}{e^x + \sum_{k=0}^n \frac{x^k}{k!}} \,\, dx $$ (Hint: เศษกับส่วน สัมพันธ์กันอย่างไร)
|
\[
\int\limits_0^\infty {\frac{{x^n }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \int\limits_0^s {\frac{{\frac{{x^n }}{{n!}}}}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \int\limits_0^s {\left( {1 - \frac{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^{n - 1} {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} \right)} dx = n!\mathop {\lim }\limits_{s \to \infty } \left[ {\ln \left| {\frac{{e^x }}{{e^x + \sum\limits_{k = 0}^n {\frac{{x^k }}{{k!}}} }}} \right|} \right]_0^s = n!\ln 2
\]