วิธีคิดสำหรับข้อ 1 นะครับ.
จากรูป
1. หมุนรูปสามเหลี่ยม AOB ในทิศตามเข็มนาฬิกา 90 องศา จะได้ว่า
- ตำแหน่งของจุด A จะไปอยู่ที่ A'(ทับกับ C)
- ตำแหน่งของจุด O จะไปอยู่ที่ O'
ดังนั้นจะได้ว่า A'O' = AO = 1 และ BO' = BO = 2
2. เกี่ยวกับมุม จะได้ว่า
AO ตั้งฉากกับ A'O' (เพราะหมุนตามเข็มไป 90 องศา) และ BO ตั้งฉากกับ BO'
3. เมื่อพิจารณารูปสามเหลี่ยม OO'B จะได้ว่าเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้นโดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จึงได้ว่า OO' = $\sqrt{2^2+2^2} = 2\sqrt{2}$
4. ให้สังเกตว่าในรูปสามเหลี่ยม OO'A' เราจะได้ว่า $(2\sqrt{2})^2 + 1^2 = 3^2$ ดังนั้นโดยบทกลับของทฤษฎีบทพีทาโกรัส จึงได้ว่า สามเหลี่ยม OO'A' เป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก นั่นคือ OO' ตั้งฉากกับ A'O'
5. แต่จากข้อ 2 เราได้ว่า AO ตั้งฉากกับ A'O'
และจากข้อ 4 เราได้ว่า OO' ตั้งฉากกับ A'O'
ดังนั้นจึงสรุปได้ว่า AO ขนานกับ OO' แต่ AO ต่อกับ OO' แสดงว่า AO' เป็นเส้นตรงเดียวกัน
6. สมมติให้ความยาวด้านของรูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส ยาว x หน่วย
จากนั้นลากเส้นทแยงมุม AA' โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส จะได้ว่า AA' = $\sqrt{2}x$ หน่วย
จากนั้นพิจารณารูปสามเหลี่ยม AO'A' ซึ่งเป็นรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก
โดยทฤษฎีบทพีทาโกรัส อีกครั้ง จะได้ว่า
$(\sqrt{2}x)^2 = (1 + 2\sqrt{2})^2 + 1^2$
$2x^2 = 1+8+4\sqrt{2} + 1$
$x = \sqrt{5+2\sqrt{2}}$
(ถ้าพื้นที่ก็ตอบ $5+2\sqrt{2}$)