จากที่บอกไว้ข้างต้น เราจึงได้ว่า $$ \int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx= \lim_{n \to \infty} \frac1n \sum_{k=1}^{n} \ln\Gamma \left( \frac kn \right) $$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac1n \ln \left( \Gamma \left( \frac1n \right) \Gamma \left( \frac2n \right) \dots \Gamma \left( \frac{n-1}{n} \right) \right) $$ ต่อไปเราจะใช้ความจริงที่ว่า ถ้า $0<a<1$ แล้ว $$ \Gamma (a) \Gamma (1-a) = \frac{\pi}{\sin a \pi}$$ ดังนั้น $$ \left( \Gamma \left( \frac1n \right) \Gamma \left( \frac2n \right) \dots \Gamma \left( \frac{n-1}{n} \right) \right)^2 $$ $$= \frac{\pi^{n-1}}{\sin \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n} \dots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} } $$ แต่เราทราบว่า $$ \sin \frac{\pi}{n} \sin \frac{2\pi}{n} \dots \sin \frac{(n-1)\pi}{n} = \frac{n}{2^{n-1}} $$ ดังนั้น $$ \int_0^1 \ln\Gamma(x) \,dx= \lim_{n \to \infty} \frac1n \ln \frac{(2\pi)^{(n-1)/2}}{\sqrt n}$$ $$= \lim_{n \to \infty} \frac{(n-1)}{2n} \ln 2\pi - \frac{\ln n}{2n} = \frac12 \ln 2\pi $$ ครับผม
