ไม่รู้ว่ามีคนรู้สึกเหมือนผมบ้างหรือเปล่า ผมว่าโจทย์วันแรกข้อ ๘ มันดูแปลกๆอะครับ
ประเด็นที่หนึ่ง โจทย์ไม่ระบุมาให้ชัดเจนว่า $m\not=n $ ซึ่งเราจะเห็นได้ชัดเจนว่า ถ้า $m=n$ ก็จะได้ว่า $d(m,n)=0 \leq 36$ ซึ่งก็ไม่ต้องพิสูจน์อะไรเลย (และก็จะทำให้โจทย์ข้อนี้กลายเป็นปัญหาเชาว์ไปทันที
)
ประเด็นที่สอง ถึงจะกำหนดให้ $m\not=n $ โจทย์ก็ดูเหมือนว่าจะยังคงมีปัญหาอยู่เช่นเคย
พิจารณาฟังก์ชันข้างล่างดูนะครับ
$D(t) = \cases{0 & , t=0 \cr 482 & , t=1 \cr 964 & , t=2 \cr 1107 & , t=3 \cr 847 & , t=4 \cr 994 & , t=5 \cr 339 & , t=6 \cr 821 & , t=7 \cr 1250 & , t=8 \cr 768 & , t=9 \cr 286 & , t=10 \cr 196 & , t=11 \cr 678 & , t=12 \cr 1160 & , t=13 \cr 911 & , t=14 \cr 429 & , t=15 \cr 53 & , t=16 \cr 535 & , t=17 \cr 1017 & , t=18 \cr 1054 & , t=19 \cr 572 & , t=20 \cr 90 & , t=21 \cr 392 & , t=22 \cr 874 & , t=23 \cr 1197 & , t=24 \cr 715 & , t=25 \cr 233 & , t=26 \cr 249 & , t=27 \cr 731 & , t=28 \cr 1213 & , t=29 \cr 858 & , t=30 \cr 376 & , t=31 \cr 106 & , t=32 \cr 588 & , t=33 \cr 1070 & , t=34 \cr 1001 & , t=35 \cr 519 & , t=36 \cr t & , 36<t \leq 1276 \cr D(2553-t) & , 1277 \leq t \leq 2552}$
ไม่ยากที่จะเห็นว่า $(D(t))^2\equiv t^2 (mod 2553)$ (ทุก $0\leq t \leq 2552$) และ $36<D(t)\leq 1276$ (ทุก $0<t\leq 2552$)
ตอนนี้เราก็จะมาสร้าง $d(x,y)$ จาก $D(t)$
กำหนดให้ $d(x,y)=D(t)$ โดยที่ $t\equiv |x-y| (mod 2553)$ และ $0\leq t \leq 2552$
เช่น $d(1,2)=D(1)=482$ ,
$ d(3,4000)=D(1444)=1109 $,
$ d(120,90)=D(30)=858 $,
$d(1345,321)=D(1024)=1024$ เป็นต้น
ไม่ยากที่จะแสดงว่า $(d(x,y))^2\equiv (x-y)^2(mod 2553)$ และ $0\leq d(x,y)\leq 1276$ ซึ่งก็สอดคล้องกับที่โจทย์กำหนด แต่ว่าเนื่องจาก $36<D(t)\leq 1276$ (ทุก $0<t\leq 2552$) ดังนั้นจะเห็นได้ว่า ไม่ว่า $x,y$ จะเป็นอะไร ถ้า $x\not\equiv y (mod 2553)$ ก็จะได้ว่า $d(x,y)>36$ เสมอ