อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ passer-by
รู้สึกมาตั้งนานเหมือนกันครับ ว่าแปลกๆ แปลกจนผมต้องโทรไปหาอาจารย์ที่มี official solutions ในมือ เมื่อกลางเดือนก่อน พอเห็น solutions ยิ่งทำให้ผม แปลกใจหนักกว่าเดิม เพราะว่า เขาสรุปแบบงงๆ ประมาณ ว่า $ d(x,y) = \left |\ \bar x - \bar y \right| $ โดย bar ในที่นี้แทนเศษใน mod 2553
|
เป็นไปได้อย่างมากครับว่า อาจารย์ผู้ออกข้อสอบอาจมองพลาดไปว่า 2553 เป็นจำนวนเฉพาะ
เพราะ
ถ้า 2553 เป็นจำนวนเฉพาะ เราจะได้ว่าสมการ $x^2\equiv d^2 \pmod{2553}$ ($d\not=0$) ก็ควรจะมีแค่ 2 คำตอบ คือ $x\equiv d,-d \pmod{2553}$ ดังนั้น ถ้ากำหนดว่า $x$ ต้องอยู่ในเซต $\{0,1,2,…,1276 \}$ ก็ควรจะได้ว่า $x$ มีอยู่แค่คำตอบเดียวที่เป็นไปได้
แต่ในความเป็นจริง 2553 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ ($2553=3\cdot 23\cdot 37$) ดังนั้นที่จริงแล้วสมการ $x^2\equiv d^2 \pmod{2553}$ ($d\not=0$) อาจจะไม่ได้มีแค่ 2 คำตอบ แต่อาจมีได้ถึง 8 คำตอบ ยกตัวอย่างเช่น
สมการ $x^2\equiv 1\pmod{2553}$ มีทั้งหมด 8 คำตอบคือ $x \equiv \pm 1 ,\pm 1220,\pm 850 ,\pm 482 \pmod{2553} $
สมการ $x^2\equiv 9 \pmod{2553}$ มีทั้งหมด 4 คำตอบคือ $x \equiv \pm 3 ,\pm 1107 \pmod{ 2553}$
จากข้อเท็จจริงดังกล่าวข้างต้น ทำให้ผมมั่นใจว่าโจทย์ข้อนี้จะต้องมีตัวอย่างค้านอย่างแน่นอน และนั่นนำไปสู่การยกตัวอย่างข้างบนออกมา