39.
ให้ $N=2m$
ก่อนอื่น เนื่องจาก $3^{2m}+1$ เป็นจำนวนคู่ ดังนั้น $2$ หาร $3^{2m}+1$ ลงตัว
แต่ว่า เนื่องจาก $3^{2m}+1\equiv 9^m+1 \equiv 1^m+1 \equiv 2 \pmod{4}$
ดังนั้น $4$ หาร $3^{2m}+1$ ไม่ลงตัว
ได้ว่า $k=1$
ผมถามเพิ่มสำหรับคำถามข้อนี้ละกันครับ
ถ้า $N$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว $k$ ที่มากที่สุดที่ทำให้ $2^k|3^N+1$ เท่ากับเท่าไหร่
40.
ก่อนอื่น สามารถแสดงได้ว่า : ถ้า $n$ เป็นจำนวนคี่ แล้ว $n^2\equiv 1\pmod{8}$
ดังนั้น $3(5^{5^5})+7^{7^7}\equiv 3\cdot 5+7 \equiv 6 \pmod{8}$
(หมายเหตุ $5^{5^5}\not=5^{25}$ และ $7^{7^7}\not=7^{49}$ นะครับ
)