[nongtum]

17. สูตรประมาณผลคูณของ Vieta (Vieta's Product approximation) ได้มาจาก $$1=\frac{\pi}{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$ จงพิสูจน์สูตรด้านบนนี้โดยอาศัยข้อเท็จจริงที่ว่า $$\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}\quadและ\quad\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}=\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}$$ และใช้ผลที่ได้แสดงว่า $$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^n}$$
ใบ้: l'Hospital และสูตรครึ่งมุมโคไซน์