[passer-by]

เดี๋ยวดินจะพอกหางหมู ผมขอเฉลยข้อ 24 ต่อให้จบก่อนนะครับ

$ (1+\cos\theta) + i\sin\theta= 2\cos\frac{\theta}{2}(\cos\frac{\theta}{2}+i\sin\frac{\theta}{2}) $

ดังนั้น By De Moivre theorem
$ ((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}+i\sin\frac{n\theta}{2}) $

หรือหมายความว่า $ Re((1+\cos\theta) + i\sin\theta)^n= (2\cos\frac{\theta}{2})^n(\cos\frac{n\theta}{2}) $


ส่วนข้อ 25 ขอตอบรวมกับแบบที่ generalize แล้ว นะครับ

ให้ $$ \prod^{2^{n-1}}_{k=0}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=(-3)\prod^{2^{n-1}}_{k=1}(4\sin^{2}\frac{k\pi}{2^n}-3)=-3p_n $$

และ $\quad \theta_k=\frac{k\pi}{2^n} $

เพราะ $ \quad 4\sin^{2}\theta_k-3 = -\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k} $
ดังนั้น $$ p_n= (-1)^{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{2^{n-1}}\frac{\sin3\theta_k}{\sin\theta_k}=(-1)^{2^{n-1}} \frac{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin3\theta_k}{\prod_{k=1}^{2^{n-1}}\sin\theta_k}= (-1)^{2^{n-1}}\frac{b_n}{a_n} $$

เมื่อจับคู่คูณเทอมต้นกับเทอมท้ายไปเรื่อยๆ ประกอบกับ ใช้สูตร $ \sin\theta \cos\theta=\frac{\sin2\theta}{2}$ จะได้ recurrence relation

$$ a_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{a_{n-1}}{2^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad a_1= 1 $$
$$ b_n=\frac{1}{\sqrt{2}}\big (\frac{b_{n-1}}{(-2)^{2^{n-2}-1}}\big ) \quad n \geq 2 \quad b_1= -1 $$

ดังนั้น $$ \frac{b_n}{a_n}=\big ( \frac{b_{n-1}}{a_{n-1}} \big ) (-1)^{2^{n-2}-1} \quad n \geq 2 \quad \frac{b_1}{a_1}=-1 $$
สรุปว่า $ p_n=1$ เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ $ p_n=-1$ เมื่อ n เป็นเลขคู่

ดังนั้น ผลคูณที่ต้องการ เท่ากับ -3 เมื่อ n เป็นเลขคี่ และ เท่ากับ 3 เมื่อ n เป็นเลขคู่

สรุปว่าข้อ 25 ตอบ 3

ต่อไปก็ ข้อ 27

ถ้า n เป็นจำนวนนับ และ $ 0 < x \leq \frac{\pi}{2}$ พิสูจน์ว่า
$$ \cot\frac{x}{2^n}-\cot x \geq n $$