ผมขอเฉลยข้อ 5 ของวันแรกครับ (แม้จะมีคนเฉลยแล้ว)
เนื่องจากจำนวนครั้งที่แต่ละคนแข่งเท่ากัน นั่นคือ $a_i+b_i=k$ โดย k เป็นค่าคงที่(ผมขี้เกียจหา)
และเนื่องจากในการแข่งขันครั้งหนึ่งจะเกิดคนชนะและคนแพ้ ดังนั้น $a_1+a_2+...+a_{2010}=b_1+b_2+...+b_{2010}$
พิจารณา
$(a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2)-(b_1^2+b_2^2+...+b_{2010}^2)$
$=(a_1^2-b_1^2)+(a_2^2-b_2^2)+...+(a_{2010}^2-b_{2010}^2)$
$=(a_1+b_1)(a_1-b_1)+(a_2+b_2)(a_2-b_2)+...+(a_{2010}+b_{2010})(a_{2010}-b_{2010})$
$=k(a_1-b_1)+k(a_2-b_2)+...+k(a_{2010}-b_{2010})$
$=k(a_1-b_1+a_2-b_2+...+a_{2010}-b_{2010})$
$=k((a_1+a_2+...+a_{2010})-(b_1+b_2+...+b_{2010}))$
$=k(0)=0$
ดังนั้น $a_1^2+a_2^2+...+a_{2010}^2=b_1^2+b_2^2+...+b_{2010}^2$
