[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ tongkub

ผมขอแอบตั้งหน่อยนะครับ

ให้ f เป็นฟังก์ชั่นพหุนามกำลังสาม ที่ซึ่ง f(x) หารด้วย x + 1 แล้วเหลือเศษ 6 และมี 1 เป็นค่าวิกฤต นอกจากนี้ y = f(x) ยังสัมผัสกับเส้นตรง 12x + y + 7 = 0 ที่จุดตัดแกน Y จงหาว่า Y มีฟังก์ชั่นลดบนช่วงใดต่อไปนี้

ผมทำไปใช้วิธี สมมุติ $ax^3 + bx^2 + cx + d$ แล้วงงตัวเลขเองครับ
ในช้อยจะมี
ก. ( -3 , -1 )
ข. ( -1,1 )
ค. ( 0,2 )
ง. ( 3,8 )

สงสัยยังผมยังถึกไม่พอหรือ มันมีวิธีอื่นไหมครับ

จากข้อมูลที่โจทย์ให้มาแสดงว่า
f(-1) = 6
f'(1) = 0
f'(0) = -12
f(0) = -7

ให้ $f'(x) = ax^2+bx-12$ (เพราะ f'(0) = -12)

แต่ f'(1) = 0 ดังนั้น a + b = 12 ... (1)

$f(x) = ax^3/3 + bx^2/2 -12x -7$ (เพราะ f(0) = -7)

แทนค่า f(-1) = 6 จะได้

$-a/3 + b/2 + 5 = 6 \Rightarrow 2a - 3b = -1 ...(2)$

แก้ระบบสมการ (1) กับ (2) จะได้

a = 7, b = 5

ดังนั้น $f'(x) = 7x^2+5x-12 = (7x+12)(x-1) < 0 \iff -12/7 < x < 1$

นั่นคือ f เป็นฟังก์ชันลดในช่วง (-12/7, 1) ดังนั้นในข้อ ข. ซึ่งเป็นสับเซตของช่วง (-12/7, 1) จะเป็นคำตอบที่ถูกต้องครับ.