[nithi_rung]

ตอบข้อ 17 นะครับ
จาก $\sin x=2\sin\frac{x}{2}\cos\frac{x}{2}$ จากได้ว่า
$$\prod_{k=1}^n\cos\frac{x}{2^k}=\prod_{k=1}^n\frac{\sin\frac{x}{2^{k-1}}}{2\sin\frac{x}{2^k}}=\frac{\sin x}{2^n\sin\frac{x}{2^n}}$$
แทน $x=\frac{\pi}{2}$ จะได้
$$\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=1}^n\cos\frac{\pi}{2^{k+1}}$$
ซึ่งเมื่อ $n\to \infty$ จะได้
$$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\prod_{k=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^{k}}$$
แต่ $$\lim_{n\to \infty}\frac{1}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{1}{\frac{\pi}{2^{n+1}}}\cdot\frac{\frac{\pi}{2^{n+1}}}{2^n\sin\frac{\pi}{2^{n+1}}}\right)=\lim_{n\to \infty}\left(\frac{2^{n+1}}{\pi}\cdot\frac{1}{2^n}\right)=\frac{2}{\pi}$$
(แก้ให้แล้วนะครับพี่ tum ขอบคุณที่ช่วยตรวจให้ครับ) จึงได้ว่า $$\frac{2}{\pi}=\prod_{n=2}^{\infty}\cos\frac{\pi}{2^n}$$ ตามต้องการ
เหลือเพียงแสดงว่า $\cos\frac{\pi}{2^{n+1}}=\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{...}}}}{2}$ (จำนวนเครื่องหมายรูทเท่ากับ $n$) ซึ่งแสดงได้โดยการพิจารณาสูตร
$$\cos \frac{x}{2} = \sqrt{\cos^2\frac{x}{2}}=\sqrt{\frac{1+\cos x}{2}} \quad เมื่อ\quad 0<x<\frac{\pi}{2}$$
ก็จะได้ว่า$$1=\frac{\pi}{2} \cdot\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2}}}{2} \cdot\frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2}}}}{2}\cdots$$ตามต้องการ

ขอฝากอีกข้อนึงนะครับ
30. จงหาเซตคำตอบของสมการ $$\cot x = 4 \cos 2x +2+\sqrt{ 3 }$$