[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Imperial_X

โจทย์ประมาณว่า
มีชาย 5 หญิง 3 จะเลือกได้ชายอย่างน้อย 1 คน
ทำอย่างไรครับช่วยแนะหน่อยครับ
ผมงงคอมบิมากๆ(ไปซื้อหนังสือมาอ่านเองแล้วไม่เข้าใจ)

โจทย์ไม่สมบูรณ์นะครับ เพราะไม่ได้บอกว่าต้องการเลือกกี่คน

ถ้าจะให้สมบูรณ์ ต้องเปลี่ยนเป็น มีชาย 5 คน เลือกชายอย่างน้อย 1 คนทำได้กี่วิธี

โดยทั่วไป ถ้าคิดโดยตรงคือแ่บ่งเป็น กรณี ๆ ไป

กรณีที่ 1, เลือกชาย 1 คน ทำได้ C(5,1)
กรณีที่ 2, เลือกชาย 2 คน ทำได้ C(5,2)
กรณีที่ 3, เลือกชาย 3 คน ทำได้ C(5,3)
กรณีที่ 4, เลือกชาย 4 คน ทำได้ C(5,4)
กรณีที่ 5, เลือกชาย 5 คน ทำได้ C(5,5)

ดังนั้นเลือกได้ C(5,1)+C(5,2)+C(5,3)+C(5,4)+C(5,5) = 5+10+10+5+1 = 31

แต่ึิคิดแบบนี้ช้า การคิดโดยอ้อมจะทำได้เร็วกว่า เพราะถ้ามีคน 5 คน จะเลือกได้ 6 กรณีคือ เลือก 0 คน (ไม่เลือกเลย) , เลือก 1 คน, ... , เลือก 5 คน

ดังนั้นการคิดโดยอ้อมคือ คิดว่า เลือกโดยไม่มีเงื่อนไขใด ๆ จากนั้นนำไปลบด้วย กรณีที่ เลือก 0 คน ก็จะเป็นการเลือกอย่างน้อย 1 คน

ถ้าเลือกโดยไม่มีเงื่อนไข ทำได้ (2)(2)(2)(2)(2) = 32 วิธี

(มี 5 ขั้นตอนย่อยคือ คนที่ 1 เลือกหรือไม่เลือก ทำได้ 2 วิธี คนที่เหลือก็ทำได้คนละ 2 วิธีเช่นเดียวกันครับ)

เลือก 0 คน ทำได้ 1 วิธี คือ ไม่เลือกเลย

ดังนั้นนับโดยอ้อมทำได้ 32 - 1 = 31 วิธี

หมายเหตุ เราจะมีเอกลักษณ์ C(n, 0) + C(n, 1) + ... + C(n, n) = $2^n$ ซึ่งอาจพิสูจน์ในทางพีชคณิตจากทฤษฎีบททวินาม $(a+b)^n = ...$ โดยการแทนค่า a = b = 1 ลงไปครับ.