ข้อ 5. ตอนที่ 2 มาแนวเดียวกับ IMO 2005 ข้อ 4. (ดูได้ที่
ข้อ 7. Number Theory มาราธอน ครับ) แต่ยากกว่า!
ให้ $p=2549$ ดังนั้น $p$ เป็นจำนวนเฉพาะ
ให้ $m=(p-3)/2$ และ $n=p-2$ จะเห็นว่า $(m,n)=1$ เพราะ $n-2m=1$
ให้สังเกตว่า $$(25\cdot 49)((25\cdot 49)^m +25^n- 2\cdot49^n) $$ $$ =(5\cdot7)^{p-1}+ 49\cdot 25^{p-1} -2\cdot25 \cdot49^{p-1}$$ $$ \equiv1+49-2\cdot25 \equiv 0 \pmod p$$ เราจึงได้ว่า $2549 \mid (25\cdot 49)^m +25^n- 2\cdot49^n$ ตามที่ต้องการครับ
