[passer-by]

ตอนที่ 2 ข้อ 2 (Alternative solution)

ให้ $ C \hat{A}Q= x \quad A\hat{C}Q= z \quad A\hat{P}Q= \theta_1 \quad Q\hat{P}C= \theta_2 $

จากที่คุณ nongtum ทำไว้ $ \frac{AR}{RC}= \frac{\sin z}{\sin x} $

จากนั้น ใช้ law of sine กับสามเหลี่ยม APQ และ PQC จะได้
$\frac{AQ}{\sin\theta_1}=\frac{PQ}{\sin (\pi-z)} \,\, \text{and} \,\, \frac{QC}{\sin \theta_2}=\frac{PQ}{\sin (\pi-x)} \rightarrow (\frac{\sin \theta_1}{\sin \theta_2})(\frac{QC}{AQ})=\frac{\sin z}{\sin x}=\frac{AR}{RC} \cdots (1) $

ประกอบกับการเทียบพื้นที่ในสามเหลี่ยมย่อยใน APC และ AQC จะได้ความสัมพันธ์

$ \frac{AR}{RC}=\frac{AQ}{QC} \cdots (2) $
$ \frac{AB}{BC}=\frac{\sin\theta_1}{\sin\theta_2} \cdots(3) $

จาก (2) ,(3) แทนใน (1) จะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการ

ส่วนข้อ 11 ตอนที่ 1
ผมว่าคุณ nongtum ลืมพิจารณาจำนวนเฉพาะ 3 ไปนะครับ เพราะ 6kฑ1 ไม่ cover เลข 3

และบรรทัดสุดท้าย น่าจะเป็น -1 ที่อยู่หน้าเครื่องหมาย product นะครับ ไม่น่าจะเป็นเลข 4

p.s. สำหรับน้องที่ผ่านรอบนี้แล้ว และอยากเพิ่มศักยภาพให้ตัวเอง ลองไปหาข้อสอบ training olympiad ของจีน มาลองทำดูก็ดีครับ ผมว่าโหดสุดๆแล้ว