[passer-by]

มาแปะวิธีทำไว้เลยดีกว่า (เผื่อกลับดึก)

ข้อ 3
ให้ O เป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมทั้ง 2 ตามโจทย์
ลาก O ตั้งฉากกับ AC, BC พบว่า แบ่งครึ่งด้านทั้งสองด้วย
และจาก ท.บ. เกี่ยวกับวงกลมและเส้นสัมผัส ทำให้ BC= AC ด้วย
แสดงว่า ABC เป็นสามเหลี่ยม หน้าจั่ว
ถ้าให้ C เป็นจุดยอด และมุมที่ฐานกาง 2q ดังนั้น มุม C กาง 180-4q...(1)
ขณะเดียวกัน ถ้าลาก OA พบว่าแบ่งครึ่งมุม DAC และทำให้ OAC เป็นสามเหลี่ยมหน้าจั่ว นั่นคือ
มุม C กาง 2(q/2)=q...(2)

จาก (1)=(2) แล้วไล่หามุมอื่นๆตามต้องการ

ข้อ 2

partition set ดังกล่าว เป็น (1,2n) , (2,2n-1),...,(n,n+1)
subset ที่มีคุณสมบัติดังกล่าว สร้างได้ดังนี้
ขั้นที่ 1: เลือกสมาชิกตัวหน้ามา k ตัว ได้ ${n \choose k} $วิธี
ขั้นที่ 2: เลือก(หรือไม่เลือก)สมาชิกตัวหลังในบรรดา n-k ตัวที่ไม่เข้าคู่กับตัวหน้าในขั้น1 ทำได้อีก 2^n-kวิธี

ดังนั้นจำนวนสับเซตคือ $$ \sum_{k=0}^n {n \choose k}2^{n-k}= (1+2)^n=3^n $$