[Ne[S]zA]

ข้อ 33 $f(x)=1+x+x^2+...+x^{100}$ จงหาค่าของ $f''(1)-f'(1)+f(1)$
จากโจทย์จะได้ว่า $f(1)=\sum_{n = 1}^{100}1$
และ $f'(x)=1+2x+3x^2+...+100x^{99}=\sum_{n = 1}^{100}nx^{n-1}$ นั่นคือ $f'(1)=\sum_{n = 1}^{100}n$ และจะได้ว่า
$f''(x)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)x^n$ นั่นคือ $f''(1)=\sum_{n = 1}^{99} n(n+1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)$
ดังนั้นค่าของ
$$f''(1)-f'(1)+f(1)=\sum_{n = 1}^{99} (n^2+n)-\sum_{n = 1}^{100}n+\sum_{n = 1}^{100}1=\dfrac{99(100)(199)}{6}+\dfrac{99(100)}{2}-\dfrac{100(101)}{2}+100=328350$$