เข้าใจว่าน่าจะหมายถึง $\sin x > x - \frac{x^3}{3!}$ ล่ะมั้ง
เอาเป็นแบบที่ว่านะครับ. พิจารณาจากสูตร $\sin 3\theta = 3 \sin \theta - 4\sin^3\theta$
ดังนั้น $\sin x = 3\sin \frac{x}{3} - 4\sin^3 \frac{x}{3}$ หรือ
$\sin x - 3\sin \frac{x}{3} = - 4\sin^3 \frac{x}{3} \quad \cdots (1)$
ประยุกตร์สมการ (1) เช่น แทน x ด้วย x/3 ซ้ำ ๆ จะได้
$\sin \frac{x}{3} - 3\sin \frac{x}{3^2} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^2} \quad \cdots (2)$
$\sin \frac{x}{3^2} - 3\sin \frac{x}{3^3} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^3} \quad \cdots (3)$
$\vdots$
$\sin \frac{x}{3^{n-2}} - 3\sin \frac{x}{3^{n-1}} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^{n-1}} \quad \cdots (n-1)$
$\sin \frac{x}{3^{n-1}} - 3\sin \frac{x}{3^n} = - 4\sin^3 \frac{x}{3^n} \quad \cdots (n)$
$(1) + 3(2) + 3^2(3) + \cdots + 3^{n-1}(n) $ จะได้
$\sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} = -4(\sin^3 \frac{x}{3} + 3\sin^3 \frac{x}{3^2} + 3^2\sin^3 \frac{x}{3^3} + \cdots + 3^{n-1} \sin^3 \frac{x}{3^n})$
แต่เนื่องจาก $ x > \sin x $ ทุก $0 < x < \frac{\pi}{2} $
ดังนั้น $\sin x - 3^n \sin \frac{x}{3^n} > -\frac{4x^3}{3^3}(1 + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{3^4} + \cdots + \frac{1}{3^{2n-2}})$
นั่นคือ $\sin x > 3^n \sin \frac{x}{3^n} - \frac{4x^3}{3^3} [\frac{1 - \frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{3^2}}] $
เมื่อ $n \Rightarrow \infty$ จะำได้ $3^n\sin \frac{x}{3^n} \Rightarrow x$ และ $\frac{1 - \frac{1}{3^{2n}}}{1 - \frac{1}{3^2}} \Rightarrow \frac{9}{8}$
นั่นคือ $\sin x > x - \frac{4x^3}{3^3}\frac{9}{8} = x - \frac{x^3}{6}$ ทุก $0 < x < \frac{\pi}{2}$
