[หยินหยาง]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ poper

ตามความคิดของผมแล้ว $0^0$ ไม่นิยามครับเพราะเกิดข้อขัดแย้งอยู่ 2 อย่างครับ
ถ้าคิดตามสมบัติของ 0 แล้ว 0 ยกกำลังเท่าไหร่ก็จะได้ 0 เสมอดังนั้น $0^0=0$ ด้วย
ถ้าคิดตามกฏเลขยกกำลัง จะได้ว่าจำนวนใดๆยกกำลัง 0 ได้ 1 เสมอดังนั้น $0^0=1$ ด้วย
จากข้อขัดแย้งนี้เราจึงไม่นิยามค่า $0^0$
หลักการเหมือนการพิจารณาการหารด้วย 0 อ่ะครับ
ถ้า $a\not=0 ,\frac{a}{0}=b$ จะได้ $a=b\times0 ,a=0$ ก็จะขัดแย้งกับที่กำหนดไว้
แต่ถ้า a=0 จะได้ว่า $0=b\times0$ แสดงว่า b มีได้หลายคำตอบ
นั่นคือ การหารด้วย 0 อาจไม่มีคำตอบ หรือ มีหลายคำตอบก็ได้ เราจึงไม่นิยามค่าที่หารด้วย 0 ครับ
ส่วนลิมิตนั้นเราหาค่าได้อยู่แล้วครับและก็ไม่เป็น 0 เสมอไปเพราะลิมิตเป็นแค่การเข้าใกล้เท่านั้นไม่ใช่ค่า ณ จุด x=0 ครับ
อีกอย่างการกดเครื่องคิดเลขนั้นมันจะหาค่าทุกครั้งที่เรากดคือพอเรากดรูท0 มันก็จะได้ 0 พอกดรูทอีกที มันก็คิดเป็นรูท 0อีก ก็จะได้ 0 ออกมาซึ่งจะไม่ใช่การยกกำลังซ้อนแล้วหาลิมิตครับ

นายแน่มาก
ที่เรามักพูดว่า $0^0$ นั้นมีอยู่ 2 กรณีด้วยกันครับ กรณีแรก คือไม่มีนิยาม เราใช้กรณีนี้เมื่อ 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 เหตุที่เราไม่นิยามเพราะมันทำให้เกิดข้อขัดแย้งได้ในทางคณิตศาสตร์ หรือพูดง่ายๆก็คือไปขัดแย้งกับกฎเกณฑ์ที่ใช้กันในคณิตศาสตร์ อีกกรณีก็คือ อยู่ในรูปแบบไม่กำหนด (หรือ indeterminate form) เราจะพบมันได้ตอนเรียนแคลคลูลัส ซึ่ง 0 ตรงฐาน และตรงเลขยกกำลังนั้นมีค่าเข้าใกล้ 0 ไม่ใช่ ศูนย์ และด้วยเหตุนี้มั้งครับถึงได้ชื่อว่า indeterminate form (เพราะเรายังไม่สามารถกำหนดค่ามันได้ก่อน) เพราะต้องใช้เรื่องลิมิตในการหาค่าที่ว่าก่อนซึ่งค่าที่ได้ก็ขึ้นอยู่กับรูปแบบของโจทย์ อาจหาค่าได้หรือหาค่าไม่ได้ก็ได้ ภาษาไทยจึงใช้คำว่า รูปแบบไม่กำหนด
ส่วนในกรณีของเครื่องคิดเลข ตรงฐานนั้นเป็น 0 ไม่ใช่เข้าใกล้ 0 ดังนั้นยกกำลังอะไรที่เป็นจำนวนจริงบวกก็เป็น 0 ครับ ซึ่งเมื่อเรากดเครื่องคิดเลข
$\sqrt{0} =0$ ดังนั้นไม่ว่าเราจะกดกี่ครั้งก็เป็น 0 อยู่ดีครับ เหมือนที่คุณ poper ได้แสดงความเห็นไว้ครับ
โจทย์ที่ผมให้ไว้ก็เพื่อให้เห็นรูปแบบต่างๆ ของ $0^0$ แค่นั้นเองครับ แล้วเคยสงสัยมั้ยครับว่าทำไมพออยู่ในรูปแบบไม่กำหนด เราถึงต้องใช้กฎของโลปิตาลมาช่วย และทำไมเวลาใช้ ถึงดิฟเศษ กับดิฟส่วน แยกจากกัน ทำไมไม่ดิฟ เศษส่วนเหมือนกับเวลาเราดิฟ ฟังก์ชั่นเศษส่วนทั่วไปครับ ลองคิดมันๆดูครับ