[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Suwiwat B

$A,B,C \in R$ $A,B,C \in (0, \frac{\pi}{2} ) A+B+C = \frac{\pi}{2}$
$cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$
และ $tanB = sinAsinCcsc(A+C)$
จงหา $1. cotA : cotB : cotC$
$2. cotA + cotB + cotC$
$3. sin^2 (2A + B + 2C)$
สนุกดี ... ขอวิธีทำดีๆด้วยนะครับ

จากสมการ $cos2A = \frac{cos2B - \frac{3}{5} }{1-\frac{3}{5} cos2B }$

แทนสูตร $cos 2A = (1- tan^2A)(1+tan^2A) , cos 2B = (1-...$

จากนั้นจัดรูป จะได้ั tan A / tan B = 2

ดังนั้น cot B = 2cot A ...(1)

จากสมการ $tanB = \frac{sinAsinC}{sin(A+C)}$ แต่ A + C = $\pi/2 - B$

จะได้ $tan B = \frac{sinAsinC}{cos B}$

ดังนั้น sin B = sin A sin C

แต่ B = $\pi/2$ - (A + C)

ดังนั้น sin B = cos(A + C) = cos A cos C - sin A sin C

sin A sin C = cos A cos C - sin A sin C

cot A cot C = 2

cot C = 2/cot A ... (2)

จาก B + C = $\pi/2 - A$

ดังนั้น tan(B + C) = cot A

$\frac{cot B + cot C}{cot B cot C - 1} = cot A$

แทนค่าจากสมการ (1), (2) แก้สมการจะได้ cot A = $\sqrt{2}$

ดังนั้น cot B = $2\sqrt{2}$ , cot C = $\sqrt{2}$

ค่าต่าง ๆ ในตัวเลือกก็หาำได้ไม่ยากครับ.

(ข้อ 3. $sin^2(2A + B + 2C) = sin^22B = 1/(1+cot^22B) = ...$