[nooonuii]

มันเป็น trick ที่ใช้ในการเปลี่ยน index น่ะครับ

ถ้า $d$ เป็นตัวหารของ $n$ จะได้ว่า $\dfrac{n}{d}$ ก็เป็นตัวหารของ $n$ ด้วย

ดังนั้นเราสามารถเปลี่ยน index ให้เป็น $e=\dfrac{n}{d}$ จะได้ $d=\dfrac{n}{e}$


$\displaystyle{\sum_{d|n}(-1)^{n/d}d=\sum_{\frac{n}{e}|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$

$\displaystyle{~~~~~~~~~~~~~~~~=\sum_{e|n}(-1)^e\dfrac{n}{e}}$

บรรทัดสุดท้ายมันเท่ากับของเดิมเพราะว่าเราหาผลบวกสำหรับตัวหารทั้งหมดของ $n$ ครับ ไม่ว่าจะใช้ $e$ หรือ $\dfrac{n}{e}$ ยังไงผลบวกมันก็หาสำหรับทุกตัวหารของ $n$