[R-Tummykung de Lamar]

ข้อ 2.3 นะครับ

ผมขอเริ่มดูที่ \(\ S_7\ \) ละกัน จะได้ดูง่ายๆ
การที่ composite แล้วจะได้ Identity นั้น มี 2 กรณีคือ
1.) เลือก ตัวเอง
2.) เลือกตัวอื่น แล้วตัวอื่นมาเลือกตัวนั้น (จับคู่สลับกันเลือก)

นั่นคือ สมมติเรามี \(\ S_7\ \) อยู่ ก็แบ่งกลุ่มดังนี้
ไม่จับเลย???????(1111111)
จับ 1 คู่ ????????(11)(11111)
จับ 2 คู่ ????????(11)(11)(111)
จับ 3 คู่ ????????(11)(11)(11)(1)
ปล. ตัวหนาคือเลือกจับตัวเองนะครับ

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

(\( i\)) ไม่จับเลย
ก็ ง่ายๆคือ \[ 1 \] วิธีครับ
----------------------------------------------------------------
(\( ii\)) จับ 1 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 2 คือ \[ {7 \choose 2} \]
----------------------------------------------------------------
(\( iii\)) จับ 2 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 2 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2} \)
แต่ในขณะที่ 2 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 2! เป็น
\[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!} \]
----------------------------------------------------------------
(\( iiii\)) จับ 3 คู่
มีอยู่ 7 เลือก 3 คู่คือ \( {7 \choose 2}{5 \choose 2}{3 \choose 2} \)
แต่ในขณะที่ 3 กลุ่มนั้น (ที่มีจำนวนเท่ากันคือ 2) สลับกัน ไม่ทำให้เกิดกลุ่มใหม่ ก็เลยต้องหารด้วย 3! เป็น
\[ \frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!} \]
----------------------------------------------------------------

ดังนั้น จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_7\ \)คือ
\[ 1+\frac{{7 \choose 2}}{1!} +\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2} }{2!}+\frac{{7 \choose 2} {5 \choose 2}{3 \choose 2} }{3!}=\ 337 \]

|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||

ขยายไปสู่รูปทั่วไปคือ
จำนวน ฟังก์ชันที่ composite กันแล้วได้ Identity ของ \(\ S_n\ \)คือ
\[ \LARGE \sum_{k=1}^{ \lfloor \frac{n}{2} \rfloor} \frac{\Pi_{j=1}^k {n-2j+2 \choose 2}}{j!}+1 \]

ดูยุ่งยากมากๆ ไม่ทราบว่าสามารถลดทอนอะไรได้บ้าง
ลองเช็คกับ \(\ S_4\ \) ดูนะครับ
\[ \sum_{k=1}^{2} \frac{\Pi_{j=1}^k {4-2j \choose 2}}{j!}+1\ =\ 6+3+1\ =\ 10 \]