[M@gpie]

มาแก้ตัวครับ ไม่รู้ว่าจะผิดอีกรึเปล่า อิอิ
จาก \( |ax^2+bx+c| \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \) จะได้ว่า \( -1 \leq ax^2+bx+c \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \)
เมื่อ \( x=0 \rightarrow \; \; -1 \leq c \leq 1 \) เลือกให้ \( \; c=1 \)
จะได้ \( -1 \leq ax^2+bx+1 \leq 1 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \)
หรือ \( -2 \leq ax^2+bx \leq 0 \; \; , \; \forall x \in [0,1] \)
เมื่อ \( x=1 \rightarrow \; \; -2 \leq a+b \leq 0 \; \; .........(1) \)
เมื่อ \( x=\frac{1}{2} \rightarrow \; \; -2 \leq \frac{a}{4}+\frac{b}{2} \leq 0 \leftrightarrow -8 \leq a + 2b \leq 0 \; \; ........ (2)\)
นำสมการ (2) - (1) จะได้ว่า \( -8 \leq b \leq 2 \; \; \) เลือกให้ \( \; b= -8 \)
จาก (1) จะได้ \( -2 \leq a-8 \leq 0 \leftrightarrow \; -6 \leq a \leq 8 \; \; \) เลือกให้ \( \; a= 8 \)
ดังนั้นค่ามากที่สุดคือ \( |a| +|b|+|c| = 17 \)