[กิตติ]

ข้อ 34....ตอบ$\dfrac{2008}{2009} $

กำหนดให้$f(r)=\sum_{j = 2}^{2009}\dfrac{1}{j^r} $ ให้หาค่าของ$\sum_{k = 2}^{\infty} f(k) $
$f(2)=\frac{1}{2^2} +\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+...+\frac{1}{2009^2}$
$f(3)=\frac{1}{2^3} +\frac{1}{3^3}+\frac{1}{4^3}+...+\frac{1}{2009^3}$
ไปเรื่อยจนถึงพจน์อนันต์
โจทย์ให้หา$f(2)+f(3)+...$....ลองเขียนใหม่จัดรูปจะได้เป็น
ให้$M=f(2)+f(3)+...$
$M=(\frac{1}{2^2} +\frac{1}{2^3} +...)+(\frac{1}{3^2} +\frac{1}{3^3} +...)+...+(\frac{1}{2009^2} +\frac{1}{2009^3} +...)$
$M= S_2+S_3+...+S_{2009}$

$S_2= \dfrac{\dfrac{1}{2^2}}{1-\dfrac{1}{2} } = \dfrac{1}{2} = 1-\dfrac{1}{2} $
สมมุติให้หารูปแบบทั่วไปจะได้ว่า$\dfrac{\dfrac{1}{n^2}}{1-\dfrac{1}{n} } = \dfrac{1}{n(n-1)} =\dfrac{1}{n-1} -\dfrac{1}{n} $
$S_3 = \dfrac{1}{2} -\dfrac{1}{3} $

$S_4 = \dfrac{1}{3} -\dfrac{1}{4} $
ไปจนถึง $S_{2009} = \dfrac{1}{2008} -\dfrac{1}{2009} $

ดังนั้น$M= 1-\dfrac{1}{2009} = \dfrac{2008}{2009}$