อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ TimeTimeFruit
14.จงหาค่าต่ำสุดของ $x^2 + y^2$ เมื่อจำนวนจริง $x,y$ สัมพันธ์กันดังสมการ $$(x+5)^2 + (y-12)^2 = 14^2$$
|
$(x,y)$ เป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่ $(-5,12)$ รัศมียาว $14$ หน่วย
ค่าต่ำสุดของ $\sqrt{x^2+y^2}$ คือระยะทางต่ำสุดจากจุดกำเนิดไปยังวงกลม
ถ้า $(x_0,y_0)$ เป็นจุดบนวงกลมที่ให้ค่าต่ำสุด ส่วนของเส้นตรงที่ลากจากจุดกำเนิดไปยังจุด $(x_0,y_0)$ จะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงกลมที่จุด $(x_0,y_0)$
จากสมบัติของวงกลมที่ว่า
รัศมีของวงกลมจะตั้งฉากกับเส้นสัมผัสวงกลมเสมอ
เราจะได้ว่า $(-5,12),(0,0),(x_0,y_0)$ อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน
ถ้าเราลากรัศมีของวงกลมให้ผ่านจุดกำเนิดและไปจบที่ $(x_0,y_0)$ เราจะได้ทันทีว่า
$\sqrt{x_0^2+y_0^2}=1$ เนื่องจากจุด $(-5,12)$ ห่างจากจุดกำเนิด $13$ หน่วยพอดี ดังนั้น
$x^2+y^2\geq x_0^2+y_0^2=1$