ต่อจากด้านบน
4. เพราะ $\Delta(\Delta A)=\{1,1,1\dots\}=\{a_1-2a_2+a_3,\ a_2-2a_3+a_4,\dots\}$ ดังนั้น
$a_3=1+2a_2-a_1$
$a_4=1+2a_3-a_2=1+2(1+2a_2-a_1)-a_2=3+3a_2-2a_1$
$a_5=1+2a_4-a_3=1+2(3+3a_2-2a_1)-(1+2a_2-a_1)=6+4a_2-3a_1$
$\vdots$
$\therefore\ a_n=\frac12(n-2)(n-1)+(n-1)a-2-(n-2)a_1$
เพราะ $a_{25}=276+24a_2-23a_1=1000$ และ $a_{49}=1128+48a_2-47a_1=1900$ จะได้ $a_1=676$
5. หลังจากวาดรูปตามโจทย์แล้ว ลาก AD เพิ่ม เราจะได้ $\hat{ADC}=\hat{CBA}=:\hat{x}$
สามเหลี่ยม ADC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังนั้น $\hat{DAB}=44^\circ-\hat{x}=\hat{DCB}=24^\circ+\hat{x}$
ดังนั้น $\hat{x}=10^\circ$ และ $\hat{DCB}=(44-10)^\circ=34^\circ$
6. เพราะ $\Delta{PQA}~\Delta{QBC},\ \Delta{QBR}~\Delta{RDC}$ ให้ RC=x, AQ=y, QB=z ดังนั้น $\frac{PQ}{QC}=\frac{QA}{QB},\ \frac{CR}{RQ}=\frac{CD}{BQ}$
แทนค่าจะได้ $\displaystyle\frac{y}{z}=\frac{525}{80+x}=\frac{x}{80}-1$ ดังนั้น $x=\sqrt{48400}=220$
7. เพราะ $y=(n+1)(n+2)x^2-(n+1+n+2)x+1=[(n+1)x-1][(n+2)x-1]$
ดังนั้น $\displaystyle a_nb_n=\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{1}{n+1}-\frac{1}{n+2}$
โดย telescope Sum จะได้ $\displaystyle\sum_{I=1}^{2550}a_nb_n=\frac12-\frac1{2552}=\frac{1275}{2552}$
8. ให้ $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ เมื่อ $a,b,c,d\in\mathbb{R}$ ดังนั้น
$\begin{array}{lcl}
1=1+a+b+c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}a+b+c+d=0\quad...(1)\\
3=16+8a+4b+2c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}8a+4b+2c+d=7a+3b+c=-13\quad...(2)\\
5=81+27a+9b+3c+d\quad &\Rightarrow& \quad{}27a+9b+3c+d=26a+8b+2c=-76\\
&&\quad\Rightarrow1\ 3a+4b+c=-38\quad...(3)\\
\end{array}$
ดังนั้น
$\begin{eqnarray}
f(0)+f(4)&=&256+64a+16b+4c+d=256+62a+14b+2c\\
&=&256-51+42a+7b=205+7(-25)=30
\end{eqnarray}$
หมายเหตุ: ข้อนี้สามารถคิดได้ง่ายกว่านี้เยอะ หากสนใจหาได้ในวิชาการหรือกระทู้อุ่นเครื่องโอลิมปิกของปีที่แล้ว
9. เพราะ $f(2x+1)=4x^2+14x=(2x+1)^2+5(2x+1)-6$
ดังนั้น $f(x)=x^2+5x-6$ ซึ่งมีผลบวกของคำตอบของสมการ $f(x)=0$ เป็น -6+1=-5
10. จาก $f(x)=\log(\frac{1+x}{1-x})=\log(1+x)-\log(1-x)$ เมื่อ $|x|<1$ ดังนั้น
$$\begin{eqnarray}
f(\frac{3x+x^3}{1+3x^2})&=&\log(1+\frac{3x+x^3}{1+3x^2})-\log(1-\frac{3x+x^3}{1+3x^2})\\
&=&\log(\frac{(x+1)^3}{1+3x^2})-\log(\frac{(x-1)^3}{1+3x^2})\\
&=&\log(\frac{x+1}{x-1})^3=3\log(\frac{x+1}{x-1})=3f(x)\\
\end{eqnarray}$$
ไม่ได้พิมพ์ยาวๆแบบนี้ซะนาน เหนื่อยชะมัด...
