[เด็กญี่ปุ่น]

แสดงวิธีทำข้อ 1

ให้ $P(x) =Ax^2+Bx+C$

(1) $P(a)=0$

$Aa^2+Ba+c=0$

(2) $P(a+1)=1$

$A(a+1)^2+B(a+1)+c=1$

$Aa^2+2Aa+A+Ba+B+C=1$ เอา $Aa^2+Ba+c=0$ ไปแทน

$2Aa+A+B=1$

จะได้ว่า $B=1-A-2Aa$

นำ $B=1-A-2Aa$ แทนลงไปใน $Aa^2+Ba+C=0$ จะได้ว่า

$Aa^2+(1-A-2Aa)a+C=0$

$Aa^2+a-Aa-2Aa^2+C=0$

จะได้ว่า $C=Aa^2+Aa-a$

จาก $P(x)=Ax^2+Bx+C$ นำ $B=1-A-2Aa$ และ $C=Aa^2+Aa-a$ แทนลงไป จะได้
$P(x)=Ax^2+(1-A-2Aa)x+(Aa^2+Aa-a)$
$P(x)=Ax^2+x-Ax-2Aax+Aa^2+Aa-a$
$P(x)=[(Ax^2-2Aax-Aa^2)+(x-a)+(-Ax+Aa)]$
$P(x)=A(x-a)^2+(x-a)-A(x-a)$
$P(x)=(x-a)[A(x-a)+1-A]$

จะได้
$P(a)=(a-a)[A(a-a)+1-A]=0$
$P(a+1)=(a+1-a)[A(a+1-a)+1-A]=1$
$P(a+2)=(a+2-a)[A(a+2-a)+1-A]=2(A+1)$

ติดค่า $A$ ใครก็ได้บอกวิธีหาค่า A หน่อยสิ