[passer-by]

ข้อ 1 (ขอเฉลยแบบทฤษฎีจำนวนครับ)

ถ้า $ n \leq 10 $ จากการแทนค่า จะมี n = 4,10 เท่านั้น ที่เป็นจริง

ต่อไปพิจารณา กรณี $ n \geq 11$ ดึง $2^8$ ออก จะได้ $ 1+4+ 2^{n-8} = j^2$ สำหรับบางจำนวนเต็ม j

แต่เมื่อ take mod 8 ทำให้ซ้ายมือและขวามือ มีเศษต่างกัน ดังนั้น มีคำตอบแค่ 4,10 เท่านั้น

ข้อ 7
ให้ $ x= \frac{a}{\left| a\right|} \,\, ,y= \frac{b}{\left| b\right|} \,\, ,z= \frac{c}{\left| c\right|}$

ดังนั้น ค่าใน X จัดรูปได้เป็น $(x+1)(y+1)(z+1) -1$

เมื่อประกอบกับ $ x,y,z = \pm 1$ ก็จะหาค่ามากสุดได้ 7 และน้อยสุดได้ -1

ข้อ 8 (อาจมีวิธีดีกว่านี้ แต่ตอนนี้ยังนึกไม่ออกครับ )

$$ \frac{59}{80} = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{4}}}}} $$

$$ \frac{45}{61} = \frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{3}}}}} $$

แสดงว่า $ \frac{r}{s} =\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{A}{B}}}}} = \frac{14B+3A}{19B+4A}$

เมื่อ $ \frac{A}{B}$ เป็นเศษส่วนอย่างต่ำ ที่ อยู่ระหว่าง $\frac{1}{4}$ และ $ \frac{1}{3}$

เนื่องจาก (14B+3A,19B+4A) = 1 และต้องการ s < 200 ดังนั้น B ไม่ควรเกิน 10

จากการแทนค่าพบว่า มี $\frac{A}{B} = \frac{2}{7}$ ที่ทำให้ s< 200 และ $ \frac{r}{s} = \frac{104}{141} $



ข้อ 16
จากการเทียบสัมประสิทธิ์พหุนาม จะได้ $ b-c = a+10$ และ $ 10a+1 = -bc$

นำ สมการแรกคูณ 10 แล้วเอาสมการที่ 2 ไปลบออก สุดท้ายจะได้ $ (10-b)(c+10) = 1 $

เนื่องจาก a,b,c เป็นจำนวนเต็ม ที่เหลือก็ไม่ยากแล้วครับ ถ้าผมทดเลขไม่ผิด ข้อนี้จะตอบ $ \{ 33,47 \}$


ข้อ 25 (Another method)

ใช้นิยามพาราโบลาให้เป็นประโยชน์ นั่นคือ ทุกจุดบนพาราโบลา อยู่ห่างจาก โฟกัส เท่ากับ ห่างจากไดเรกทริกซ์

ใช้จุดยอด V(0,0) ให้เป็นประโยชน์

ลาก F ทะลุ V ไปยังไดเรกทริกซ์ ซึ่งแน่นอนว่าตั้งฉากกับไดเรกทริกซ์

หาสมการเส้นตรง FV ,ระยะจาก V ไปยังไดเรกทริกซ์และจุดตัดสมการ FV กับไดเรกทริกซ์ได้ไม่ยาก

จากนั้นใช้สูตรจุดกึ่งกลางส่วนของเส้นตรง หาพิกัดจุด F

ข้อ 29
จำได้ว่าพี่ gon เคยเฉลยโจทย์สไตล์นี้ไปแล้ว หลักการคือหมุนสามเหลี่ยม APB ไปทางขวาโดยใช้ B เป็นจุดหมุน โดยหมุนจน AB ทับ BC และสมมติให้จุด P เดิมกลายเป็น X

พิจารณา PBXC โดยลาก PX ประกอบกับใช้ปีธาโกรัสและลงมุมนิดหน่อย ก็ได้ $C\hat{X}B = A\hat{P}B=135^{\circ} $ครับ