[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ bakured

เอ่อคือ
จริงหรือเท็จนั่นผมย่อมทำได้อยุแล้วละครับ
ผมแค่ต้องการวิธีพิสูจน์ครับเพราะตอนนี้ทางโรงเรียนสอนเรื่องนี้อยู่และผมก็ติดปัญหาตรงนี้

ก็โจทย์มันผิดนี่ครับ ถ้าต้องการวิธีก็ต้องยกตัวอย่างอสมการที่ถูก จะให้พิสูจน์ข้อความที่ผิดว่าถูก ไม่มีใครทำได้หรอกครับ

จงพิสูจน์ว่า $n! > n^2$ ทุกจำนวนเต็ม $n \ge 4$

ให้ p(n) แทนข้อความ $n! > n^2$ ทุกจำนวนเต็ม $n \ge 4$

ขั้นฐาน , p(4) แทน $4! > 4^2$ ซึ่งเป็นจริง เพราะ 24 > 16

ขั้นอุปนัย , สมมติให้ p(k) แทน $k! > k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

จะแสดงว่า p(k+1) เป็นจริง ดังนี้

จาก $k! > k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

ดังนั้น $(k+1)k! > (k+1)k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$

$(k+1)! > k^3 + k^2$ ทุกจำนวนเต็ม $k \ge 4$ ...(*)


แต่จาก $k \ge 4$ จะได้

$k^3 \ge 4k^2$ (เอา $k^2$ คูณทั้งสองข้าง)

และ $k^2 \ge 4k$

และ $4k \ge 16$

ดังนั้น $k^3 + k^2 \ge 4k^2 + 4k = k^2 + 3k^2 + 4k \ge k^2 + 12k + 16 > k^2 + 2k + 1 = (k+1)^2$

จากสมการ (*) จึงได้ว่า $(k+1)! > k^3 + k^2 > (k+1)^2$

นั่นคือ $(k+1)! > (k+1)^2$

แสดงว่า p(k+1) เป็นจริง

โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์จึงสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็ม n $\ge$ 4