[★★★☆☆]

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2n-1}{2n})<\frac{1}{\sqrt{2n+1}}$$

p(1) เป็นจริง เพราะ $1/2 < 1/\sqrt{3}$

ให้ p(k) จริง $$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})<\frac{1}{\sqrt{2k+1}} ...(*)$$

ต้องการพิสูจน์ว่า

$$(\frac{1}{2})(\frac{3}{4})(\frac{5}{6})...(\frac{2k-1}{2k})(\frac{2k+1}{2k+2})<\frac{1}{\sqrt{2k+3}} ...(ก)$$

เป็นการเพียงพอที่จะพิสูจน์ว่า
$$\frac{2k+1}{2k+2}\frac{1}{\sqrt{2k+1}}<\frac{1}{\sqrt{2k+3}}$$
(ใช้้อสมการ (*) และสมบัิติการถ่ายทอด ถ้า a<b และ b<c แล้ว a<c)

อสมการข้างต้นจะเป็นจริงเมื่อ
$8k^3+20k^2+14k+3<8k^3+20k^2+16k+4$

(คูณไขว้แล้วยกกำลังสอง)

ซึ่งเป็นจริง เพราะ 0 < 2k + 1

ดังนั้นจากอสมการ (ก) แสดงว่า p(k+1) เป็นจริง

จึงสรุปได้ว่า p(n) เป็นจริงทุกจำนวนเต็มบวก n