[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

ในการใส่จดหมาย 5 ฉบับ ที่เขียนถึงคน 5 คน คนละ 1 ฉบับ ลงในซองที่จ่าหน้าซองแ้ว 8 ซอง ซองละหนึ่งฉบับ ความน่าจะเป็นที่ใส่จดหมายลงในซองได้ตรงกับชื่อหน้าซองไม่เกิน 3 ซอง และ ไม่น้อยกว่า 1 ซองเท่ากับข้อใด
$1) \frac{75}{120} 2) \frac{85}{120} 3)\frac{90}{120} 4)\frac{96}{120}$

ที่ผมคิดได้ วิธีทำอย่างนี้ครับ
ถูก 1 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{3}{4}x\frac{2}{3}x\frac{1}{2}$
ถูก 2 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{1}{4}x\frac{2}{3}x\frac{1}{2}$
ถูก 3 ซอง $\frac{1}{5}x\frac{1}{4}x\frac{1}{3}x\frac{1}{2}$
รวมได้ $\frac{9}{120}$
แต่เฉลยมันตอบข้อ 1) ช่วยกระผมหน่อยนะครับ

ถ้าจะให้ตอบข้อ 1. จะต้องเปลี่ยนโจทย์ก่อนครับ คือเปลี่ยนเป็นว่ามีซองจดหมายอยู่ 5 ซอง เท่านั้น ถ้าเป็น 8 ซอง จะคิดยากกว่านี้เยอะครับ.

สมมติให้ A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = {1, 2, 3, 4, 5}

n(S) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B ซึ่งจะมีได้ 5! = 120 วิธี

n(E) = จำนวนฟังก์ชันทั่วถึงจาก A ไปยัง B โดยที่

กรณีที่ 1. ตรง 1 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) $\not= 2$, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 1) = 5 แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 1)D_4$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_4$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 4 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 2. ตรง 2 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3) $\not= 3$, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 2) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 2)D_3$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_3$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 3 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

กรณีที่ 3. ตรง 3 ซอง ซึ่งหมายความว่า
f(1) = 1 และ f(2) = 2, f(3)= 3, f(4) $\not= 4$, f(5) $\not= 5$ (หรือวนเป็นแบบอื่นซึ่งมีได้ C(5, 3) แบบ)

ในที่นี้จะสร้างได้ $C(5, 3)D_2$ ฟังก์ชัน เมื่อ $D_2$ เป็นจำนวนวิธีที่ส่งจดหมายของคน 2 คน ไม่ถูกซองของเขาเลยสักคน

ดังนั้น n(E) = $C(5, 1)D_4 + C(5, 2)D_3 +C(5, 3)D_2 = 5(9) + 10(2) + 10(1) = 75$

ดังนั้น P(E) = 75/120

note. $D_n=(n-1)(D_{n-1}+D_{n-2}) , D_1 = 0, D_2 = 1$