อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ !!!-Argentum-!!!
หยิบมาจาก TMO 1 ครับ ยังไม่มีใครเฉลย 
ข้อ 15 วันแรก
จงหาจำนวนเต็ม $n$ ที่มากที่สุดซึ่ง $n$ $\leqslant$ $2004$ และ $3^{3n+3}$ - 27 หารด้วย 169 ลงตัว |
จัดรูปจะได้
$=27(3^{3n}-1)$
$=27(3^3-1)(3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1)$
$=27(26)(3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1)$
$\therefore 13\left|\,3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1\right. $
เห็นได้โดยง่ายว่า $3^{3n}\equiv 1(mod 13)$
$\therefore 3^{3n-3}+3^{3n-6}+...+3^3+1\equiv n(mod13) $
$\therefore 13\left|\,n\right. $
$\therefore n$ มากที่สุดคือ $n=2002$