[★★★☆☆]

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ [FC]_Inuyasha

มาจากไหนครับ ช่วยบอกด้วยได้ไหมครับ

ให้ $D_n$ แทนจำนวนวิธีในการส่งจดหมายที่ต่างกัน n ฉบับ ลงในซองจดหมายที่ต่างกัน n ซอง โดยที่ส่งผิดซอง
จะได้ $D_1=0, D_2=1$ ลองเขียนดูนะครับไม่ยาก

$D_3 = 2 $ คือ
f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 1 กับ
f(1) = 3, f(2) = 1, f(3) = 2

สำหรับจดหมายตั้งแต่ 4 ฉบับขึ้นไป (ใช้กับ 3 ฉบับก็ได้)

จะแบ่งเป็น 2 กลุ่มคือ
กลุ่มที่ 1, f(1) = b และ f(b) = 1 (โดยที่ b $\ne 1$)
กลุ่มที่ 2, f(1) = b แต่ $f(b) \ne 1$

ถ้ามี n ฉบับ
กลุ่มที่ 1, ได้แก่
f(1) = 2 และ f(2) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
f(1) = 3 และ f(3) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี
.....
f(1) = n และ f(n) = 1 ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 2 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-2}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-2}$ วิธี

กลุ่มที่ 2, ได้แก่
f(1) = 2 แต่ f(2) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
f(1) = 3 แต่ f(3) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี
.....
f(1) = n แต่ f(n) $\ne 1$ (เป็นอะไรยังไม่ต้องเลือก) ตอนนี้จะเหลือจดหมาย n - 1 ฉบับ ซึ่งจะส่งให้ไม่ตรงเลยได้ $D_{n-1}$ วิธี

ดังนั้นในกรณีนี้จะส่งได้ทั้งหมด $(n-1)D_{n-1}$ วิธี

รวม 2 กลุ่มก็จะได้ $D_n = (n-1)(D_{n-2} + D_{n-1})$