[ครูนะ]

เฉลยเฉพาะข้อ 1

D เป็นกึ่งกรุป ดังนั้น D มีสมบัติปิดและเปลี่ยนกลุ่ม

เหลือพิสูจน์สมบัติการมีเอกลักษณ์และตัวผกผัน

พิสูจน์การมีเอกลักษณ์ก่อน

เนื่องจาก D เป็นกรุปจำกัด ดังนั้นที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ab = a$

(เกิดได้เพราะ ถ้ากำหนด ฟังก์ชันเรียงสับเปลี่ยน $f : S \rightarrow S$

สมมุติมีสมาชิก n สมาชิก เนื่องจาก D เป็นกรุปจำกัด ดังนั้น จะเกิด ฟังก์ชันได้ n! แบบ

และใน n! แบบจะมีบางแบบที่เป็นสมาชิกซ้ำกันได้

ดังนั้นที่ทุก $a \in D$ สามารถเลือก $b \in D$ ที่ $ab = a$ ได้)

จากสมบัติตัดออกทางซ้าย จะได้ $b = e$

ในทำนองเดียวกันที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ba = a$

จากสมบัติตัดออกทางขวา จะได้ว่า $b = e$

จึงได้ว่า จะมี $e \in D$ ที่ทุก $a \in D$ ที่ $ae = e = ea$

เพราะฉะนั้น เซต D มี $e$ เป็นเอกลักษณ์

พิสูจน์ว่า D มีตัวผกผัน

เนื่องจาก D เป็นเซตจำกัด ให้ $e$ เป็นเอกลักษณ์ และ $e \in D$

ให้ D = {$e, x_{1}, x_{2},..., x_{n}$}

จะมี $b \in D$ ที่ทำให้ D = {$be, bx_{1}, bx_{2},..., bx_{n}$}

ดังนั้น ที่ทุก $x_{i} \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $bx_{i} = e$ ที่ทุก $i = 1, 2,..., n$

ในทำนองเดียวกัน จะพิสูจน์ได้ว่า ที่ทุก $x_{i} \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $x_{i}b = e$

เพราะฉะนั้น ที่ทุก $a \in D$ จะมี $b \in D$ ที่ $ab = e = ba$