[กิตติ]

ข้อ 3.3 ผมคิดได้$(-1,1),(6,6)$
เดี๋ยวมาเขียนวิธีทำครับ

3.3.เส้นทะแยงมุมของสี่เหลี่ยมจัตุรัสรูปหนึ่งซึ่งมีจุดปลายทั้งสองข้างเป็นจุดตัดแกน $x$ และ $y $ของเส้นตรง $7x+5y = 35$ จงหาพิกัดของจุดปลายทั้งสองของเส้นทะแยงมุมอีกเส้นหนึ่งของสี่เหลี่ยมจัตุรัสนี้

เขียนรูปก่อน จะได้ดูง่ายๆ



คุณสมบัติของเส้นทะแยงมุมทั้งสองของสี่เหลี่ยมจัตุรัสคือ ตั้งฉากกันและตัดกันที่จุดกึ่งกลาง
หาจุดตัดบนแกน $x$ และ $y $ ได้คืิอ $(0,7),(5,0)$
หาสมการเส้นตรงที่ตั้งฉากกับเส้นตรงแรก ซึ่งจะเป็นเส้นทะแยงมุมอีกเส้นหนึ่ง
เส้นแรกมีความชัน$-\frac{7}{5} $ อีกเส้นหนึ่งมีความชัน $\frac{5}{7} $ และจุดตัดคืิอจุดกึ่งกลางระหว่าง $(0,7)$ กับ $(5,0)$ ซึ่งคือ $(\frac{5}{2},\frac{7}{2} ) $ ตามรูปคือ $P(x,y) = (\frac{5}{2},\frac{7}{2} ) $
สมการเส้นตรงที่ต้องการหา คือ$y= \frac{5}{7}x+c$ แทนจุดผ่านคือจุดตัดลงไป
$\frac{7}{2} = \frac{25}{14} +c \rightarrow c= \frac{7}{2}-\frac{25}{14} = \frac{12}{7} $
สมการ$L_2$คือ $y= \frac{5}{7}x+\frac{12}{7}$....เก็บไว้ก่อน
ให้จุดปลายที่ต้องการหาคือ$(a,b),(c,d)$
$d-b=\frac{5}{7}(c-a) \rightarrow b-d=\frac{5}{7}(a-c)$...เนื่องจากอยู่บน$L_2$
ความยาวของเส้นทะแยงมุมเท่ากับ$\sqrt{5^2+7^2} = \sqrt{74} $
ดังนั้น$(a-c)^2+(b-d)^2=74$
$(a-c)^2(1+\frac{25}{49} )=74$
$(a-c)^2=49 \rightarrow a-c = \pm 7$
$b-d = \pm 5$
จุด$(\frac{5}{2},\frac{7}{2} )$ ก็เป็นจุดกึ่งกลางของจุด $(a,b),(c,d)$ ด้วย
ดังนั้น$a+c = 5 , b+d = 7$....นำไปแก้กับสมการ
$a-c = \pm 7 , b-d = \pm 5$
ได้ค่าจุดพิกัดคือ $(-1,1),(6,6)$
ระยะทางระหว่างสองจุดนี้ก็เท่ากับความยาวของเส้นทะแยงมุม
ลองหาความชันจากจุดทั้งสองไปยังจุดปลายบนแกน$x$ และ $y $ ว่าเป็นมุมฉากหรือไม่
ดูจุด$(-1,1)$ ก่อน $(\frac{7-1}{0-(-1)})( \frac{0-1}{5-(-1)})=(6)(-\frac{1}{6} ) = -1$...ตั้งฉากกัน
มาดูจุด $(6,6)$ ต่อ $(\frac{7-6}{0-6})( \frac{0-6}{5-6})=(-\frac{1}{6} )(6) = -1$...ตั้งฉากกัน
ดังนั้นจุดที่หามาได้ก็ไม่น่าจะมีปัญหา