[warut]

ข้อความเดิมของคุณ tani:
กำหนดให้ a₁ = 1 , a₂ = 2548 โดยที่ a_n = 2549a_n-1 - 2006a_n-2 ทุก n ฮ N , n > 2
จงแสดงว่ามี a ที่ทำให้ 271 หาร a²⁵⁴⁹a₂₅₄₉ + a²⁰⁰⁶a₂₀₀₆ โดยที่ 271 หาร a ไม่ลงตัว

จากโจทย์เราได้ว่า สำหรับ $n \in \mathbb N $ และ $n>2$ แล้ว $$ a_n \equiv 110a_{n-1} -109a_{n-2} \pmod{271} $$ และเราจะได้ว่า $$ \begin{array}{rcl} a_1 & \equiv & 1 \pmod{271} \\ a_2 & \equiv & 109 \pmod{271} \\ a_3 & \equiv & (110)(109)-(109)(1) \equiv 109^2 \pmod{271} \\ a_4 & \equiv & (110)(109^2)-(109)(109) \equiv 109^3 \pmod{271} \\ & \vdots & \\ \therefore \quad a_n & \equiv & 109^{n-1} \pmod{271} \quad \text{by induction} \end{array} $$ ดังนั้น ถ้า $ 271 \mid \alpha^{2549} a_{2549} + \alpha^{2006} a_{2006} $ และ $ 271 \! \not| \, \alpha $ แล้วเราจะได้ว่า $$ \begin{array}{ccl} 0 & \equiv & \alpha^{2549} a_{2549} + \alpha^{2006} a_{2006} \pmod{271} \\ & \equiv & \alpha^{2549} 109^{2548} + \alpha^{2006} 109^{2005} \pmod{271} \\ & \equiv & \alpha^{2006} 109^{2005} \left( (109\alpha)^{543} +1 \right) \pmod{271} \\ & \equiv & (109\alpha)^{543} +1 \pmod{271} \\ & \equiv & (109\alpha)^3 +1 \pmod{271} \end{array} $$ ตรงบรรทัดสุดท้ายนี่ใช้ Fermat's Little Theorem ครับ ($ \, 271 \! \not| \, x \, \Rightarrow \, x^{270} \equiv 1 \pmod{271} \, $)

ดังนั้นเราจะได้สิ่งที่โจทย์ต้องการในทันที ถ้าเราสามารถเลือก $\alpha$ ให้ $ 109 \alpha \equiv -1 \pmod{271} $ ได้ ซึ่งในกรณีนี้เราสามารถทำได้จริงครับ เพราะ $ \gcd (109,271) =1 $

ป.ล. โจทย์ข้อนี้สวยดีครับ