[กิตติ]

ข้อ 2...ทั้งๆที่รู้ว่าถ้าใช้AM-GM ก็ไม่น่าจะใช้เกินห้าบรรทัดก็จบ ลองใช้วิธีทางพีชคณิตดูแล้วก็ไม่ออก ตันจริงๆ
ผมก็ไม่สันทัดAM-GM ลองทำดูแล้วกัน.....ข้อ 2 น่าจะง่ายที่สุดในกลุ่ม ข้ออื่นเกินความรู้ที่ผมมี ขอบายครับ

2. ถ้ามีจำนวนเต็มบวก $a,b,c$ ที่ $\frac{a}{b} +\frac{b}{c} +\frac{c}{a}=3 $

จงแสดงว่า $abc$ เป็นกำลังสามสมบูรณ์

ให้$x=\frac{a}{b} ,y=\frac{b}{c} , z=\frac{c}{a}$
$x+y+z=3$ และ $xyz=1$
จาก$AM-GM,$

$\dfrac{a_1a_2a_3...a_n}{n} \geqslant \sqrt[n]{a_1a_2a_3...a_n} $
จะยุบเป็นสมการเมื่อ$a_1=a_2=a_3...=a_n$

$\frac{x+y+z}{3}\geqslant \sqrt[3]{xyz} $
$\frac{x+y+z}{3} = \sqrt[3]{xyz}$ เมื่อ$x+y+z=3,xyz=1$
$x+y+z = 3xyz$ แสดงว่า$x=y=z$
ดังนั้น$\frac{a}{b}= \frac{b}{c} =\frac{c}{a} =k \rightarrow a=kb,b=ck,c=ak$
$abc=(kb)b(k^2b)=(kb)^3 = a^3$