ขอแสดงความเห็นบ้างนะ แสดงข้อ (ii) โดยใช้ (i)
จาก (i) เราทราบว่า $\sup \{a+f(x):x\in X\}\le a+\sup \{f(x):x\in X\}$ สำหรับทุกจำนวนจริง $a$ และทุกฟังก์ชัน $f:X\to(-\infty,\infty)$ ต่อไปจะแสดง (ii) นั่นคือ
$$\sup\{a+f(x):x\in X\}\ge a+\sup\{f(x):x\in X\}$$
กรณีแรกถ้า $\sup\{a+f(x):x\in X\}=\infty$ ข้อความที่ต้องการก็จริงทันที ต่อไปสมมติว่า
$\sup\{a+f(x):x\in X\}<\infty$ ให้ $g(x)=a+f(x)$
จะได้ว่า
$$\sup\{f(x):x\in X\}= \sup\{(-a)+g(x):x\in X\}$$
และ
$$(-a)+\sup\{g(x):x\in X\}= (-a)+\sup\{a+f(x):x\in X\}$$
โดย (i) เราทราบว่า
$$\sup\{(-a)+g(x):x\in X\}\le (-a)+\sup\{g(x):x\in X\}$$
ดังนั้น
$$\sup\{f(x):x\in X\}\le (-a)+\sup\{a+f(x):x\in X\}$$
หรือข้อความ (ii) นั่นเอง
ลองดูว่านะครับว่า $\sup\{a+f(x):x\in X\}<\infty$ ใช้ตรงไหน ผมยังดูไม่ละเอียด มีนัดพบหมอเช้านี้ ขอโทษทีครับ
|