[กิตติ]

ข้อนี้ผมใช้เครื่องทุ่นแรงอย่างmod ไม่งั้นคิดจนงง ร่วมกับ Euler's theorem
อ่านมาจากกระทู้นี้ครับ ความรู้เบื้องต้นเรื่อง mod
เป็นความรู้เกินระดับ
ผมได้คำตอบคือ $19$

คิดหารทีละพจน์
$7^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 37
คิดแบบนี้ จากEuler's theorem : 7 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม
$\phi(45) = 45(1-\frac{1}{3} )(1-\frac{1}{5} ) =24$
$7^{24} \equiv 1 \pmod{45} $
$7^{2553} = 7^{24(106)+9}$
$7^{2553} = 7^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 7^9 \equiv 37 \pmod{45} $
เช่นเดียวกับ $2^{2553} \ $ หารด้วย $45$ เหลือเศษ 17
2 กับ 45 เป็น co-prime ไม่มีตัวร่วม
$2^{24} \equiv 1 \pmod{45} $
$2^{2553} = 2^9 \equiv \pmod{45} \rightarrow 2^9 \equiv 17 \pmod{45} $
ดังนั้นเศษที่เหลือจากการหารนำมารวมกันได้ $37+17n$ หารด้วย 45ลงตัว
เขียนเป็นสมการได้ว่า$37+17n = 45A$
แปลงให้ดูง่ายหน่อยได้$n = 2(A-1)+\frac{11A-3}{17} $
แทนค่า$A=1,2,3,...$ ไปเรื่อยๆ ได้ค่า$A=8$เป็นค่าแรกที่ทำให้เกิดจำนวนเต็ม
แทนค่าได้$n=19$

ผมคิดเป็นคำตอบไว้คร่าวๆ เผื่อจะมีคนประยุกต์ความรู้ขั้นมัธยมปลายหาคำตอบได้
ผมก็ยังไม่แน่ใจว่าตัวเองคิดถูกหรือเปล่า เพราะลองใช้ความรู้นี้เป็นครั้งแรก