[กิตติ]

ขอบคุณมากครับคุณScylla_Shadowที่แนะให้มากเลย
แต่วิธีที่ผมเฉลยด้วยไอเดียของคุณScylla_Shadowยังดูตลกๆ
ผมว่ามันน่าจะยังมีวิธีที่สวยกว่าที่คิดได้ ท่านไหนมีวิธีน่าสนใจก็ลองแนะกันได้
ผมน่ะแก่แล้วความรู้ก็จำกัด วิธีเลยถึกๆ ดูไม่เท่เท่าไหร่
อ้อลืมไปครับ...มาเที่ยวลำปางแล้วก็บอกกันหน่อยนะครับ จะได้เจอกันบ้าง
จาก$7^2-2^2=45$ เราเอา$7^2+2^2$คูณทั้งสองข้างให้ซ้ายมือเป็นผลต่างกำลังสองแล้วเราก็คูณไปเรื่อยๆจนได้เลขยกกำลังที่ใกล้ $7^{2553}$ มากที่้สุด
$7^4-2^4=45(7^2+2^2)$
$7^8-2^8=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)$
$7^{16}-2^{16}=45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^8+2^8)$
จะเห็นว่าเลขยกกำลังของ7และ2ที่เราเอามาคูณนั้นเป็น$2^n$ ซึ่งค่าที่ใกล้ $2553$ มากที่สุดคือ $2048$
ลองเขียน$2^n$ ออกมาได้ $2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,2048$
เราลองแยก$2553$ออกมาในรูปที่เป็น$2^n$ เท่ากับ$2048+256+128+16+4+1$
ดังนั้น $7^{2553}=7(7^{2048+256+128+16+4})$
$=7(7^{2048}7^{256}7^{128}7^{16}7^{4})$
แทนค่าลงไปโดย$7^{2048} =2^{2048}+45(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$ ผมให้ก้อนนี้$(7^2+2^2)(7^4+2^4)(7^{1024}+2^{1024})$เป็นอะไรสักอย่าง คือ$A_1$
$7^{2048} =2^{2048}+45A_1$
$7^{256} =2^{256}+45A_2$
$7^{128} =2^{128}+45A_3$
$7^{16} =2^{16}+45A_4$
$7^4 =2^4+45A_5$
เราสนใจว่ามีพจน์ไหนที่ไม่มี$45$เป็นตัวประกอบ ซึ่งก็คือ$2^{2048}\times2^{256}\times2^{128}\times2^{16}\times2^4$
เท่ากับ$2^{2552}$
ดังนั้น$7^{2553}$มีพจน์ที่ไม่มี$45$ คือ$7\times 2^{2552} $ ซึ่งก็คือเศษจากการหาร
ดังนั้น $n2^{2553}+7^{2553}$ หารด้วย45ลงตัว เมื่อ $n2^{2553}+7\times 2^{2552}$หารด้วย45ลงตัว
$n2^{2553}+7\times 2^{2552} = (2n+7)\times 2^{2552}$
ดังนั้น$2n+7 = 45 \rightarrow n=19$