อ้างอิง:
ข้อความเดิมของคุณ Char Aznable:
\[ a,b,c > 0 \]
Prove or disprove that \[ \frac{4a^{ 2 }(3a+b)}{(b+c)}+\frac{4b^{ 2 }(3b+c)}{(c+a)}+\frac{4c^{ 2 }(3c+a)}{(a+b)} \geq 11(a^{ 2 }+b^{ 2 }+c^{ 2 })-3(ab+bc+ca) \]
|
ไชโย !! ทำได้แล้วครับ
$\displaystyle{LHS = \frac{(6a^2+2ab)^2}{(b+c)(3a+b)}+\frac{(6b^2+2bc)^2}{(c+a)(3b+c)}+\frac{(6c^2+2ca)^2}{(a+b)(3c+a)}}$
$\displaystyle{\geq \frac{[6(a^2+b^2+c^2)+2(ab+bc+ca)]^2}{a^2+b^2+c^2+7(ab+bc+ca)}}$
$\geq 11(a^2+b^2+c^2)-3(ab+bc+ca)$
อสมการสุดท้ายพิสูจน์ดังนี้
ให้ $x=a^2+b^2+c^2,y=ab+bc+ca$ จะได้อสมการสมมูลกับ
$(6x+2y)^2\geq (x+7y)(11x-3y) \Leftrightarrow 25(x-y)^2\geq 0$
