$สมมติว่า p(x) = A + Bx + Cx^2 + ... ; A,B,C,... \in I$
$ดังนั้น p(\frac{1}{x}) = A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...$
$จะได้ P(x)P(1/x) = P(x)+P(1/x)$
$ (A + Bx + Cx^2 + ...)(A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...) = (A + Bx + Cx^2 + ...) + (A + B\frac{1}{x} + C\frac{1}{x^2} + ...)$
$พิจารณาสัมประสิทธิ์พจน์ที่ไม่มี x $
$A^2 + B^2 + C^2 + ... = 2A $
$นั่นคือ A^2 \leqslant 2A$
$จะได้ช่วง A คือ [0,2] $
$กรณี A=0$
$>> จะได้ P(x) = 0 ใช้ไม่ได้$
$ กรณี A=2$
$>> จะได้ B^2 + C^2 + ... = 0 >>> \therefore B=C=...=0$
$>> จะได้ P(x) = 2 ใช้ไม่ได้$
$\therefore A=1$
$แทนค่าในสมการ$
$1 + B^2 + C^2 + ... = 2 >>> B^2 + C^2 + ... = 1$
$นั่นคือ มีตัวแปรหนึ่งตัว=1,-1 นอกนั้น=0$
$\therefore P(x) = 1 \pm x^n$
$แทน x = \frac{1}{2} ; p(\frac{1}{2}) = 1 \pm (\frac{1}{2})^n >>> \frac{7}{8} = 1 - (\frac{1}{2})^n เท่านั้น$
$(\frac{1}{2})^n = \frac{1}{8} $
$\therefore n=3 $
$\therefore P(x) = 1 - x^3 โดย x \not= 0$
$ P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) = 5 - ( 1 + 8 + 27 + 64 + 125 ) = -220 $
