[กิตติ]

ข้อนี้ผมคิดได้ $100$ มีโจทย์ทำนองเดียวกันที่น้อง sirenโพสไว้ใน โจทย์น่าสนใจ แม้จะต่างกันที่เลขยกกำลังแต่อย่างอื่นในโจทย์เหมือนกัน

คิดใหม่แล้วได้คำตอบคือ $-100$

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ Siren-Of-Step

]2. กำหนด $a^3 = b^3$ และ $a \not= b$

$ A = \frac{a}{a+b} + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2547}$

$B = \frac{b}{a+b} + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2547}$
จงหาค่าของ $-100(A+B)$

น้องอาร์ทเฉลยไว้ตามนี้

ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ ~ArT_Ty~

ข้อ 2. แปลกๆนะครับมันเป็นจำนวนเชิงซ้อนเหรอครับ

ให้ $a=\omega , b=\omega ^2$ เป็นรากที่สามของ 1

จะได้ $A=\sum_{n = 1}^{2547}(\frac{\omega }{\omega +\omega ^2})^n =\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega )^n$

$B=\sum_{n = 1}^{2547}(-\omega ^2 )^n $

$\therefore 100(A+B)=\sum_{n = 1}^{2547}(-(\omega +\omega ^2))^n=254700 $

ซึ่งเลขยกกำลังที่เป็นเลขคี่นั้นไม่ว่าเท่าไหร่คำตอบจะเหมือนกันหมด
มาช่วยผมดูหน่อยว่าผมคิดตรงไหนผิด

จาก$a^3=b^3 \rightarrow (a-b)(a^2+ab+b^2)=0$ เนื่องจาก $a\not= b$ ดังนั้น$a-b\not=0$
$a^2+ab+b^2=0 \rightarrow \frac{a}{b}+\frac{b}{a} = -1 $
$ab=(a+b)^2$

$\dfrac{a^2}{b^2}+\dfrac{b^2}{a^2} = -1$ และเมื่อยกกำลังสองไปเรื่อยๆจะได้ว่า

$\dfrac{a^{2n}}{b^{2n}}+\dfrac{b^{2n}}{a^{2n}} = -1$

$ A = \frac{a}{a+b}(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552})$
$A\times (\frac{a}{a+b}-1) = \frac{a}{a+b}\times (\frac{a}{a+b}-1)(1 + (\frac{a}{a+b})^2 + (\frac{a}{a+b})^3 + ... + (\frac{a}{a+b})^{2552}) $
$A\times (\frac{-b}{a+b}) = \frac{a}{a+b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$
$A= -\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)$

$B = \frac{b}{a+b}(1 + (\frac{b}{a+b})^2 + (\frac{b}{a+b})^3 + ... + (\frac{b}{a+b})^{2552})$
$B \times (\frac{b}{a+b}-1)= \frac{b}{a+b}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$
$B= -\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553})-1 )$

$A+B = -[\frac{a}{b}\times ((\frac{a}{a+b})^{2553}-1)+\frac{b}{a}((\frac{b}{a+b})^{2553}-1 )]$

$= -[(\frac{a^{2554}}{b(a+b)^{2553}})+(\frac{b^{2554}}{a(a+b)^{2553}})-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})]$

$= -[(\frac{a^{2555}}{(a+b)^{2555}})+(\frac{b^{2555}}{(a+b)^{2555}})+1]$

$= -[(\frac{a}{b} +1)(\frac{a^{1277}}{b^{1277}})+(\frac{b}{a} +1)(\frac{b^{1277}}{a^{1277}})+1]$

$= -[(\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}}) +(\frac{a^{1278}}{b^{1278}}+\frac{b^{1278}}{a^{1278}})+1]$

$= -[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]$....
ผมน่าจะคิดเครื่องหมายกับพจน์ผิด เดี๋ยวขอลองคิดในกระดาษใหม่อีกที
เมื่อคืนคงงงเองทำต่อในกระดาษอีกนิดเดียวก็จบแล้ว

$= -[(\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1276} +(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1276} ]$

$= [(1+\frac{b}{a})(\frac{a}{b})^{1276} +(1+\frac{a}{b})(\frac{b}{a})^{1276} )]$

$= [(\frac{a}{b})^{1276}+(\frac{b}{a})^{1276} +(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} ]$

$= -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} $

$= -1+ (\frac{a}{b})(\frac{a}{b})^{1274}+(\frac{b}{a})(\frac{b}{a})^{1274}$

$= -1-[ (\frac{a}{b})^{1274} +(\frac{b}{a})^{1274}+(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

$= -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เริ่มเห็นวนรอบของการแปลงพจน์แล้วจาก $-[\frac{a^{1277}}{b^{1277}}+\frac{b^{1277}}{a^{1277}} ]\rightarrow -1+(\frac{a}{b})^{1275}+(\frac{b}{a})^{1275} \rightarrow -[(\frac{a}{b})^{1273} +(\frac{b}{a})^{1273}]$

เลขชี้กำลังของการวนกลับมานั้นต่างกันอยู่4.....เราก็คิดเหมือนลำดับเลขคณิตว่าจะวนพอดีหรือมีพจน์ตกค้าง
$1272 = 4(318)$ แสดงว่าวนได้ 318 ดังนั้นพจน์สุดท้ายที่เหลือคือ

$\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$

ดังนั้น$A+B = -1$
โจทย์ถาม$-100(A+B)$ จึงได้คำตอบคือ $100$

แก้ใหม่ว่า พจน์สุดท้ายเป็น $-(\frac{a}{b}+\frac{b}{a})$
ดังนั้น$A+B = 1$
โจทย์ถาม$-100(A+B)$ จึงได้คำตอบคือ $-100$