ความรู้ที่ต้องใช้มี 2 เรื่องคือ
1. การเลื่อนแกนทางขนาน
2. การหมุนแกน
จากรูปจุด A(x, y) เป็นจุดบนระนาบ xy ถ้าหมุนแกน xy ในทิศทวนเข็มนาฟิกาขึ้นไปเป็น มุม $\theta$ ได้แกน x'y' จะได้ว่าจุด A(x', y') (จุดเดียวกัน) เป็นจุดบนระนาบ x'y'
จะเห็นว่า (เห็นหรือเปล่าครับ
)
$x = x'\cos \theta - y'\sin \theta ... (1)$
$y = x'\sin \theta + y'\cos \theta ... (2)$
แก้ระบบสมการจะได้
$x' = x\cos \theta + y\sin \theta ... (3)$
$y' = y\cos \theta - x\sin \theta ... (4)$
ตัวอย่าง. พิจารณาสมการไฮเพอร์โบลามุมฉากแบบนอนที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (0, 0) คือ $x^2 - y^2 = a^2$ ซึ่งถ้าหมุนในทิศทวนเข็มนาฬิกาไป $45^{\circ}$ จะได้ไฮเพอร์โบลามุมฉากในจตุภาคที่ 1 และ 3
เนื่องจากสมการบนแกน xy คือ $x^2 - y^2 = a^2$
ดังนั้นสมการบนแกน x'y' จะได้เป็น $(x')^2 - (y')^2 = a^2$
แทนค่า $x', y'$ จากสมการ (3), (4) ลงใน $(x')^2 - (y')^2 = a^2$ กระจายแล้วจัดรูปจะได้ $$(x^2-y^2)\cos 2\theta + 2xy \sin 2\theta = a^2$$
เมื่อแทนค่า $\theta = 45^{\circ}$ ก็จะได้สมการ $2xy = a^2$ เป็นสมการบนแกน xy ในจตุภาคที่ 1, 3 นั่นเอง
แต่ถ้าหมุนตามเข็ม 45 องศา ก็แทน $\theta = -45^{\circ}$ ก็จะได้สมการ $2xy = -a^2$ เป็นสมการบนแกน xy ในจตุภาคที่ 2, 4
สำหรับกรณีทั่วไปที่จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h, k)
เริ่มต้นพิจารณาสมการ HP มุมฉากคือ $x^2 - y^2 = a^2$ จากนั้นเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) ซึ่งเป็นจุดกำเนิดของแกน x'y' จะได้ว่าสมการ $(x')^2 - (y') ^2 = a^2$ เป็นสมการ HP มุมฉากบนแกน x'y'
และในตอนต้นเราทราบว่า สมการ $x^2 - y^2 = a^2$ ถ้าหมุนทวนเข็ม 45 องศา จะได้สมการ $2xy = a^2$
ดังนั้นสมการ $(x')^2 - (y') ^2 = a^2$ บนแกน x'y' ถ้าหมุนทวนเข็ม 45 องศา ก็จะได้สมการ $2x'y' = a^2$ เช่นกัน
แต่เนื่องจากเราทราบว่า สมการของการเลื่อนแกนทางขนานไปที่จุด (h, k) คือ $x' = x-h, y' = y-k$
ดังนั้นจะได้สมการ $2(x - h)(y - k) = a^2$ เป็นสมการ HP มุมฉากบนแกน xy (คล้าย ๆ แบบในจตุภาคที่ 1, 3) ซึ่งมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ (h, k) นั่นเองครับ.