อ้างอิง:
ข้อความเดิมเขียนโดยคุณ polsk133
การเรียงสับเปลี่ยน $x_1,x_2,...,x_{2n}$ ของเซต $\{ 1,2,...,2n \}$ โดยที่ $n \in \mathbb{N}$
จะเรียกว่ามีสมบัติ P ถ้ามี $i \in \{ 1,2,...,2n-1 \}$ อย่างน้อยหนึ่งค่าที่ $|x_i-x_{i+1}|=n$
จงแสดงว่า สำหรับแต่ละ n จะมีการเรียงสับเปลี่ยนที่มีสมบัติPอยู่มากกว่าที่ไม่มีสมบัติ P
|
เป็นการเพียงพอที่จะหากรณีที่ไม่มีสมบัติ P แทน หรือก็คือ ไม่มี $i$ ซึ่ง $x_{i+1} \equiv x_i \pmod{n}$
โดยเราจะเลือกทีละตัวจับมาเรียงกัน และพิจารณาการหยิบจากตารางดังต่อไปนี้
$$\vmatrix{1 \\ 2 \\ \vdots \\ n} \vmatrix{n+1 \\ n+2 \\ \vdots \\ n+n}$$
ถ้าเราเลือกตัวหนึ่งขึ้นมา ตัวถัดไปที่เลือกต้องไม่ใช่แถวเดียวกัน
และในการเลือกตัวต่อไปก็ในทำนองเดียวกัน
ดังนั้น จำนวนวิธีจึงเป็น
$$2n(2n-2)(2n-3) \cdots (3)(2)(1)=\frac{(2n)!}{2n-1}$$
แต่จำนวนวิธีสับเปลี่ยนทั้งหมดคือ $(2n)!$ ซึ่งสำหรับ $n \ge 2$ จะได้ว่า
$$\frac{(2n)!}{2} > \frac{(2n)!}{2n-1}$$
หรือก็คือ จำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P มีน้อยกว่าครึ่งหนึ่งของจำนวนวิธีทั้งหมด
หรือก็คือ จำนวนวิธีที่มีสมบัติ P มีมากกว่าจำนวนวิธีที่ไม่มีสมบัติ P #
ส่วนในกรณี $n=1$ ชัดเจนอยู่แล้ว
( วิธีทำผมมันดูแปลกๆยังไงไม่รู้นะครับ รู้สึกไม่มั่นใจเลย
)