ข้อที่ 55/2548 นะครับ ไม่ค่อยมั่นใจเท่าไหร่นะครับ
โจทย์
จงหา ค่าของจำนวนจริง m ทุกจำนวน ซึ่งทำให้สมการ
$(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1)) (x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = 0$
มีรากที่แตกต่างกันเพียงสามค่า (1997 Bulgarian National Olympiad in Mathematics)
ให้
$(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=p(x)$ และ $(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1)) = q(x)$
พิจรณา จำนวนจริง $x$ ที่ทำให้ $p(x)=0$ จะได้
$(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=0$
$x=m\pm \sqrt{5m^2+4}$
สังเกตุว่า $5x^2+4>0$
จะได้ว่า $p(x)=0$ มีรากทั้งหมด 2 ราก
นั่นคือ จะได้ว่า $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว
พิจรณารากของ $q(x)=0$ ได้ $x=2\pm \sqrt{2m^3+2m+4}$
แต่ $q(x)=0$ ต้องมีรากเดียว นั่นคือ
$2m^3+2m+4=0$
$(m+1)(m^2-m+2)=0$
แต่$m$เป็นจำนวนจริง จะได้ $m=-1$ เพียงค่าเดียวที่เป็นไปได้
แต่เมื่อแทน $m=-1$ แล้วจะได้ $f(x)$ มี 2 ราก
กรณีที่ $p(x)$ กับ $q(x)$ มีรากซ้ำ
จะได้ว่ามี $x$ ที่ทำให้ $p(x)=q(x)=0$
$(x^2 − 2m x − 4(m^2 + 1))=(x^2 − 4x − 2m(m^2 + 1))$
$(4-2m)x=(4-2m)(m^2+1)$
กรณีที่ $m=2$ จะได้ $f(x)$ มีเพียงสองราก ดังนั้น $m \not= 2$
$x=m^2+1$ แทนค่ากลับลงไปจะได้
$f(x)=(x^2-2mx-4x)^2=0$
$x^2(x-4-2m)^2=0$
แต่ถ้า $x=0$ จะเกิดข้อขัดแย้งกับ $x=m^2+1$
กรณีที่ $x=4+2m=m^2+1$ จะได้ $m=-1,3$
แทน $m=3$ พบว่าเป็นจริง