[nooonuii]

57. ตอบ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

Solution:

จัดรูปอสมการใหม่ได้

$2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (x-a)^2\leq \dfrac{7}{4}+2a^2$ ทุกค่า $x\in [0,1]$

Case 1: $a\geq 1$

จะได้ $(1-a)^2\leq (x-a)^2\leq (0-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq (1-a)^2$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งเป็นไปไม่ได้

Case 2: $a\leq 0$

จะได้ $a^2\leq (x-a)^2\leq (1-a)^2$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งจะได้ $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq 0$

Case 3: $0\leq a\leq 1$

จะได้ $0\leq (x-a)^2\leq\max{\{a^2,(1-a)^2\}}$ ทุก $x\in [0,1]$

ดังนั้น $2a^2-\dfrac{1}{4}\leq 0$ และ $a^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$ และ $(1-a)^2\leq\dfrac{7}{4}+2a^2$

ซึ่งจะได้ $0\leq a\leq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}$

สรุปว่า $-\dfrac{1}{2}\leq a\leq\dfrac{1}{2\sqrt{2}}$