ดูหนึ่งข้อความ
  #2  
Old 15 มกราคม 2005, 16:21
gon's Avatar
gon gon ไม่อยู่ในระบบ
ผู้พิทักษ์กฎขั้นสูง
 
วันที่สมัครสมาชิก: 29 มีนาคม 2001
ข้อความ: 4,605
gon is on a distinguished road
Smile

โครงงานคณิตศาสตร์เพิ่งบรรจุเข้ามาในหลักสูตรไม่นานมานี้เองครับ. รุ่นพี่ก็ไม่เคยทำ แต่เท่าที่เคยศึกษาจากการอ่านหนังสือและความคิดเห็นส่วนตัวประกอบ มีดังนี้ครับ.

วัตถุประสงค์หลัก : ให้นักเรียนฝึกทักษะทางกระบวนทางคณิตศาสตร์มาใช้ได้

กระบวนทางคณิตศาสตร์ ประกอบไปด้วย
1. การตั้งข้อคาดเดา
2. การพิจารณาข้อคาดเดาในส่วนย่อย
3. การพิสูจน์ข้อคาดเดาเพื่อสรุปเป็นทฤษฎีบท
4. การขยายทฤษฎีบทที่มีอยู่ให้เป็นกรณีกว้างกว่าออกไป

ในแต่ละประเด็นก็จะมีเรื่องย่อย ๆ ที่อาจจะต้องจะทำหรือเข้าถึงได้หลายวิธี เช่น การตั้งข้อเดา

1) คำถาม : จะตั้งข้อคาดเดาอย่างไร ?
คำตอบ : ส่วนใหญ่แล้วนักคณิตศาสตร์ จะตั้งข้อคาดเดาจากการลองแก้ปัญหาต่าง ๆ หรือ การลองคิดอะไรจากจุดเล็ก ๆ แล้วคิดว่า สามารถที่จะขยายไปเป็นความจริงในกรณีที่กว้างกว่า โดยคาดหวังว่าจะสามารถหารูปแบบโดยใช้กระบวนการแก้ปัญหาในทางคณิตศาสตร์ได้ในที่สุด

ตัวอย่าง : นักเรียนอาจจะสังเกต หรือ ไปจำมาจากไหนก็แล้วแต่ว่า ผลคูณของจำนวนที่อยู่ในรูปแบบ ab x a(10 - b) เช่น
34 x 36 , 72 x 78 , 65 x 65 , 129 x 121 ซึ่งเป็นจำนวนที่หลักหน่วยรวมกันได้ 10 แต่หลักอื่นที่เหลือมีค่าเท่ากัน จะเท่ากับ ab เมื่อ
a = หน้า คูณ (หน้า + 1)
b = หลังคูณกัน (ถ้าเป็นเลข 1 หลัก คือ 1 x 9 ให้ตอบเป็น 2 หลัก คือ 09)
ดังนั้น : 34 x 36 = (3 x 4)(4 x 6) = 1224
72 x 78 = (7 x 8)(2 x 8) = 5664
65 x 65 = (6 x 7)(5 x 5) = 3035
129 x 121 = (12 x 13)(9 x 1) = 15609

ดังนั้นข้ดคาดเดาของเรา คือ "ผลคูณของจำนวนสองจำนวนที่หลักหน่วยรวมกันได้ 10 ...... "

2. การพิจารณาข้อคาดเดาในส่วนย่อย
เพื่อทดสอบข้อคาดเดา ว่าเป็นจริงเสมอหรือไม่ นักเรียนอาจต้องทำสอบโดยการลองคูณจำนวนที่อยู่ในรูปแบบดังกล่าว เพิ่มขึ้นอีกหลาย ๆ ตัวอย่าง เช่น
108 x 102 , 8764 x 8766 , ..... ถ้าพบว่ามีข้อผิดพลาดเกิดขึ้น ข้อคาดเดาดังกล่าวย่อมตกไปโดยไม่ต้องพิสูจน์ นอกจากนี้เพื่อเป็นแนวคิดในการพิสูจน์อาจจะเขียน
34 x 36 = 1224 เป็น = 1200 + 24 = (3 x 4)100 + (4 x 6)
129 x 121 = 15609 = 15600 + 09 = (12 x 13)100 + (1 x 9) เป็นต้น.

3. การพิสูจน์ : วิธีการพิสูจน์ในทางคณิตศาสตร์มีหลายวิธี แนวคิดที่จะใช้ในการพิสูจน์อาจจะต้องมาจาก
3.1 ทักษะการคิดโดยส่วนตัว
3.2 การจินตนาการถึงขั้นตอนสุดท้าย
3.3 การเพิ่มความรู้โดยการศึกษาเพิ่มเติม

ตัวอย่าง : จะพิสูจน์ว่าจำนวนที่อยู่ในรูปแบบ ab x a(10 - b) = [ a x (a + 1) ] b x (10 - b) ] = 100a(a + 1) + b x (10-b)
เมื่อ b เป็นเลขโดดตั้งแต่ 0 - 9, ส่วน a เป็นจำนวนบวกเต็มใด ๆ
พิสูจน์ : โดยความรู้พื้นฐานของระบบเลขฐาน 10 : ab = 10a + b และ a(10 - b) = 10a + (10 - b)
ดังนั้น ab x a(10 - b) = (10a + b) x [10a + (10 - b)] = 100a2 + 10ab + 100a - 10ab + b x (10 - b) = 100a2 + 100a + b x (10 - b)
= 100(a)(a + 1) + b

4. การขยายไปสู่ความจริงแบบอื่น ๆ
ในกรณีนี้นักเรียนอาจจะสนใจรูปแบบคล้าย ๆ เดิม และใช้หลักการทำนองเดียวกันนี้พิสูจน์ เพื่อได้หลักการคูณที่กว้างกว่าออกไป เช่น
- เมื่อสนใจการขยายไปในแนวทางเดิม เช่น
" ผลคูณของจำนวนที่ 2 ตัวท้าย รวมกันได้ 100 ส่วนตัวหน้าเท่ากัน " จะได้สูตรเดิม เพียงแต่หลักหน่วยที่นำมาคูณกัน ถ้าได้เลข 3 หลัก ต้องเติมศูนย์เข้าไปข้างหน้าให้เป็น 4 หลัก เช่น 01 x 99 = 0099 หรือ 08 x 92 = 0736

501 x 599 = (5 x 6)(01 x 99) = 300099
2008 x 2092 = (20 x 21)(08 x 92) = 4200736
310 x 390 = (3 x 4)(10 x 90) = 120900
536 x 564 = (5 x 6)(36 x 64) = 302304

หมายเหตุ : 51 x 599 แบบนี้ไม่เข้ารูปแบบ ต้องเป็น 501 x 599

เมื่อขยายออกไปเป็นกรณีทั่วไป ก็อาจจะได้เป็น " เมื่อเลขจำนวน n ตัวท้าย รวมกันได้ 10n ส่วนตัวหน้ามีค่าเท่ากัน ให้นำตัวหน้ามาบวก 1 แล้วคูณกัน จากนั้นต่อด้วยจำนวนที่เกิดจากตัวหลังมาคูณกัน โดยที่ถ้าผลคูณของตัวหลังมีจำนวนไม่ครบ 2n ตัว ให้เติมเลขศูนย์จนกว่าจะครบ 2n ตัว " เช่น

6123 x 6877 : ในที่นี้ n = 3 ดังนั้น 6123 x 6817 = (6 x 7)(123 x 877) = 42107817
4001 x 4999 = (4 x 5)(001 x 999) = 20000999

ตัวอย่างดังกล่าวเป็นการขยายออกไปในทิศทางเดิม นักเรียนอาจจะขยายออกไปในทางอื่น ๆ เช่น

"ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 10 ส่วนตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน" ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น
86 x 26 = (8 x 2 + 6)(6 x 6) = 2236
97 x 17 = (9 x 1 + 7)(7 x 7) = 1649
43 x 63 = (4 x 6 + 3)(3 x 3) = 2709

หมายเหตุ : ใช้ได้กับเลข 2 หลักเท่านั้น (กล่าวคือเมื่ตัวหลัง เป็นเลขโดดตั้งแต่ 0 - 9) แบบนี้ คือ 478 x 678 ใช้ไม่ได้

เมื่อลองขยายต่อไปอีก คือ " ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 100 ตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน " ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับ 10 เท่าของตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น

996 x 16 = (99 x 1 + 6 x 10)(6 x 6) = 15936
803 x 203 = (80 x 20 + 3 x 10)(3 x 3) = 163009

และ เมื่อขยายออกไปเป็นกรณีทั่วไปกว่านี้ ก็คือ " ผลคูณของจำนวนที่ตัวหน้ารวมกันได้ 10n ตัวหลังเป็นเลขโดดหลักเดียวที่มีค่าเท่ากัน " ก็จะได้เป็นสูตรว่า " ให้นำตัวหน้ามาคูณกันแล้วบวกกับ 10n - 1 เท่าของตัวหลัง จากนั้นต่อด้วยจำนวนตัวหลังคูณกัน (ในกรณีที่ตัวหลังเป็นเลข 1 x 1 , 2 x 2, 3 x 3 ให้ใส่เป็น 01, 04 และ 09 ตามลำดับ " เช่น

1008 x 9008 : ในกรณีนี้ n = 3 : ดังนั้น 1008 x 9008 = (100 x 900 + 100 x 8)(8 x 8) = 9080064
20006 x 80006 : ในกรณีนี้ n = 4 : ดังนั้น 20006 x 80006 = (2000 x 8000 + 1000 x 6)(6 x 6) = 1600600036

ตัวอย่างดังกล่าวเป็นการขยายออกไปในแนวทางเดิม หรือ พลิกแพลงจากเพียงเพียงเล็กน้อยเท่านั้น นักเรียนอาจจะสนใจรูปแบบ ๆ อื่นก็ได้ ซึ่งถ้าสามารถทำได้ก็จะเป็นการครบทักษะกระบวนในทางคณิตศาสตร์ทุกขั้นตอน
ตอบพร้อมอ้างอิงข้อความนี้