สมาคมคณิตศาสตร์แห่งประเทศไทย ในพระบรมราชูปถัมภ์
ข้อสอบแข่งขันคณิตศาสตร์ ประจำปีการศึกษา $2555$ ระดับมัธยมศึกษาตอนปลาย
สอบวันอาทิตย์ที่ $25$ พฤศจิกายน $2555$ เวลา $9:00-12:00$ น.[/b]
ตอนที่ 1
1. ถ้าจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี $\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{7}=1$ เป็นจุดเดียวกันกับจุดโฟกัสทั้งสองของไฮเพอร์โบลา $\frac{x^2}{144}-\frac{y^2}{81}=\frac{1}{25}$ แล้ว $a^2$ มีค่าตรงกับข้อใด
2. กำหนดให้ $A$ และ $B$ เป็นเหตุการณ์โดยที่ $P(A^c)=\frac{5}{6}$ และ $P(A^c\cap B^c)=\frac{1}{2}$ แล้ว $P(B-A)$ ตรงกับข้อใดต่อไปนี้
3. ถ้า $a_1,a_2,a_3,...$ เป็นลำดับเลขคณิตของจำนวนจริงโดยที่ $a_1\not= 0$ และ $a_{32}=4a_{20}$ แล้ว $a_10+a_{25}+2a_{40}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
4. กำหนดให้ $ \vec{A}=\bmatrix{a \\ b} $ และ $\vec{B}=\bmatrix{1 \\ \sqrt{3}}$ โดยที่ $b\not= 0$ และ $\vec{A}$ เป็นเวกเตอร์หนึ่งหน่วย ถ้ามุมระหว่าง $\vec{A}$ กับ $\vec{B}$ เท่ากับ $60^{\circ}$ แล้ว $a$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
5. ถ้า $f(x)$ เป็นปฏิยานุพันธ์ของ $\sqrt{x^3+1+2x\sqrt{X}}$ แล้ว $f(1)-f(0)$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
6. ถ้า $a$ และ $b$ เป็นคำตอบของสมการ $3^{2x+1}+2^{x+1}=6^x+2(3^{x+1})$ โดยที่ $a\not= b$ แล้ว $(\frac{3}{2})^{ab}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
7. ถ้า $A$ เป็นเมทริกซ์จัตุรัสขนาด $2\times 2$ ซึ่ง $A^2=2(A+I_2)$ โดยที่ $I_2$ แทนเมทริกซ์เอกลักษณ์ขนาด $2\times 2$ แล้ว $\mid det(A-I_2)\mid$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
8. กำหนดให้ $f(x)=x-\sqrt{x^2-1}$ และ $g(x)=\frac{1}{x+\sqrt{x^2-1}}$
จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) โดเมนของ $f$ $=$ โดเมนของ $g$
(2) $f=g$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
9. เด็กนักเรียนมัธยมปลายห้องหนึ่งมีจำนวนทั้งสิ้น $a+b$ คน ประกอบด้วยเด็กนักเรียนชาย $a$ คน และเด็กนักเรียนหญิง $b$ คน ถ้าสุ่มเลือกนักเรียนมา $2$ คน จากนักเรียนทั้ง $a+b$ คนเหล่านี้ ปรากฏว่า ความน่าจะเป็นที่เด็กนักเรียนที่เลือกมา $2$ คนนี้เป็นเพศเดียวกันมีค่าเท่ากับ $\frac{1}{2}$ จงพิจารณาว่า $a^2+b^2-2ab$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
10. ถ้า $x$ เป็นจำนวนจริงที่อยู่ในช่วง$[0,\frac{\pi}{2}]$ และ สอดคล้องกับสมการ $arcsin(cos x)+arccos(sin x)=1$ แล้ว $x$ เป็นสมาชิกของช่วงใดต่อไปนี้
11. กำหนดให้ $p$ และ $q$ เป็นจำนวนเชิงซ้อน โดยที่ $q\not= 0$ ซึ่งทำให้สมการ $z^2+pz+q=0$ มีรากที่ต่างกันเป็นจำนวนเชิงซ้อน $z_1,z_2$ ถ้า $\mid z_1 \mid =1=\mid z_2 \mid$ แล้ว ส่วนจริงของ $z_1\overline{z_2}$ มีค่าตรงกับข้อใดต่อไปนี้
12. กำหนดให้ $r$ และ $s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวกใดๆ และ $x$ และ $y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวกใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) $r^s$ เป็นจำนวนตรรกยะบวก
(2) $r^x$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(3) $y^s$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
(4) $x^y$ เป็นจำนวนอตรรกยะบวก
จำนวนข้อความที่เป็นจริงจากข้อความทั้ง 4 ข้อความข้างต้นตรงกับข้อใดต่อไปนี้
13. สำหรับ $X$ และ $Y$ ที่เป็นเมทริกซ์ขนาน $3\times 3$ ใดๆ นิยาม$[X,Y]=XY-YX$ ให้ $A,B,C$ และ $D$ เป็นเมทริกซ์ขนาด $3\times 3$ ใดๆ จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) $det([A,B])=-det([B,A])$
(2) $[A+C,B+D]=[A,B]+[C,D]$
(3) $[A,[B,C]]+[B,[C,A]]=-[C,[A,B]]$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
14. กำหนดให้ $f$ เป็นฟังก์ชันจากเซตของจำนวนจริงไปยังเซตของจำนวนจริง และให้ $a$ เป็นจำนวนจริง จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$
(2) ถ้า $ \textstyle\lim_{h\to 0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h} =5$ แล้ว $ \textstyle\lim_{h\to
0}\frac{f(a+h)-f(a-h)}{h} =10$
ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
15. กำหนดให้ $ABC$ เป็นสามเหลี่ยมใดๆ โดยที่ $cos^2 A+cos^2 B \geq sin^2 C$ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง
|